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1 第 32 卷 22 年 2 月 北京理工大学学报 TrasactiosofBeijigIstituteofTechology Vol32 o2 Dec22 Wieer 系统辨识中有限阶次的渐近性分析 王建宏 ( 景德镇陶瓷学院机电系, 江西, 景德镇 摘要 : 在白噪声和有色噪声激励下, 分别推导出 Wieer 系统线性部分的渐近方差式 在有色噪声激励下, 添加对噪声模型的渐近分析 利用由正交基构成的生成核函数替换模型阶数, 得到的两渐近方差式能更精确地接近于对应的真实采样值 根据渐近方差矩阵, 建立以输入功率谱为变量的优化问题 通过求解带约束条件的优化问题得到 Wieer 系统中最优输入信号的功率谱密度 最后用仿真算例验证本文方法的有效性 关键词 :Wieer 系统 ; 预测误差法 ; 渐近性 ; 有限阶次中图分类号 :TP273 文献标志码 :A 文章编号 :-645( AccuracyAalysisofFiiteModelOrderEstimatio i WieerSystemIdetificatio WAGJiaṉhog (DepartmetofMechaicaladElectroicEgieerig,JigdezheCeramicIstitute,Jigdezhe,Jiagxi33343,Chia Abstract:Theliear part sasymptoticcovariace matrix expressios ofthe Wieersystem excitedbywhiteadcoloredoisewerederivedtheasymptoticaalysisforoisemodel,which isexcitedbycoloredoise,wasaddeditisfoudthat,whethe modelorderisreplacedby somereproducigkerelfuctiocostructedbyagroupoforthoormalbasisfuctios,above derivedtwoasymptoticcovariace matrixexpressioscouldbeappropriatetotheirtruesample values,respectivelythus,theoptimizatiocouldbecosideredasthefuctioofiputpower desitybysolvigthisoptimizatioproblem withsomecostraiedcoditios,theoptimal iputsigalspectrum for Wieersystem couldbeobtaiedfialy,theexamplesimulatio cofirmstheeficiecyofproposedstrategy Keywords:Wieersystem;predictioerrormethod;asymptoticaalysis;fiiteorder 为了对估计值作出准确性判断, 衡量辨识算法的有效性, 文献 [] 在基于概率统计框架下, 采用概率论中的一阶统计量和二阶统计量来衡量未知参数矢量估计值的准确性 ; 文献 [2] 利用一组正交基定义的生成核函数来代替原渐近方差式中的模型阶数, 可得到较为准确的渐近方差式 ; 文献 [3] 分析正交基的构造方法 ; 文献 [4] 利用此正交基, 分析 ARMAX 模型结构中频响函数估计的频域精度问题 ; 文献 [5] 在已知分母多项式全部极点的先验信息下, 根据广义 Toeplitz 矩阵的性质, 推导了线性系统 下系统对象模型和噪声模型的渐近方差式 ; 文献 [6] 在具有固定极点位置的模型结构中, 研究某自适应算法的跟踪性能和对噪声的敏感性能 ; 文献 [7] 在原目标准则函数式中增加一正规项, 推导此时对象模型的渐近方差式为两核函数的函数 作者在白噪声和有色噪声激励的作用下, 分别推导出 Wieer 系统中线性部分的渐近方差式 根据推导出来的未知参数矢量的渐近方差矩阵式, 建立以输入功率谱为自变量的最优化问题, 以此作为 Wieer 系统的输入信号 收稿日期 : 基金项目 : 国家自然科学基金资助项目 (6644 作者简介 : 王建宏 (98, 男, 博士,

2 王建宏 :Wieer 系统辨识中有限阶次的渐近性分析 263 问题描述 所示 包含非线性函数部分的 Wieer 系统如图 2 白噪声下有限阶次的渐近方差式 当图 中的噪声模型 H(q, β 时, 仅高斯白 噪声 e t 激励 Wieer 系统的输出观测 yt, 见图 2 图 2 白噪声激励下的 Wieer 系统结构框图 Fig2 StructureofWieersystemexcitedbywhiteoise 图 Wieer 系统框图 Fig BlockdiagramofWieersystem 图中 yt 为输出观测,u t 为外部输入信号,e t 为 一独立同分布的零均值白噪声, 其方差值为 λ v t 为对白噪声 e t 做滤波后的有色噪声, 系统对象模型 G(q, β 和 H (q, β 用未知参数矢量 β R β 来参数 化,X( 为无记忆的非线性函数, 其用未知参数矢 量 R 来参数化 由图 所示可得 yt =X(+v =X(G(q, t β u ἀ+h(q, t β e t, { X =X(G(q, t β u t ἀ ( Wieer 系统辨识问题为估计两类未知参数矢 量组成的复合未知参数矢量 θ θ= β = T [ ] T R βt β +, = β + (2 对未知参数矢量 θ R 的辨识可采用预测误差 法, 根据式 ( 的输入输出关系, 基于 t- 时刻之 前的输出对 t 时刻的一步前向预测输出为 ^yt =H - (q, β X(G(q, β u t ἀ+ [-H - (q, β ] yt (3 一步前向预测误差为 ε t (θ=yt -^yt =H - (q, β [ yt -X(G(q, β u t ἀ] 定义最小二乘估计准则为 (4 V (θ= 2 εt(θ 2 (5 t= 未知参数矢量 θ 的估计可通过如下最小化的性 能准则函数进行求解 ^θ =arg mi θ R V (θ (6 当外部的观测噪声 {e(t} 为高斯白噪声时, 式 (6 的预测误差辨识等价极大似然辨识估计 [8] 为 ^θ =θ =arg mi θ R E{V (θ} (7 线性部分 G(q, β 的参数化形式为 G(q, β = βkb k (q, (8 k= 其中 B k (q 为第 k 个正交基函数, 其可选择为 B k (q= - ξk 2 ( q-ξ k B (q= - ξ 2 ( q-ξ 正交基函数的构造需要满足 k- r= æ- 췍 ξrq ö ç, èq-ξ r ø (9 <B k,b l >= 2π π -πb k (e jω 췍 Bl (e jω dw =δ(k-l 其中 个值 { ξ k} k= 为人为选择的固定极点, 且满足 ξk D= { z C:z < } 记由 个正交基函数构成的矢量为 Γ (q=[b (q B 2 (q B (q] T 在少于两个极点的情况下, 即出现的特例为 B (q=q -, 此时的线性部分参数化形式可简化为 G(q, β =βq - 这在以下的推导过程中可直接取 B (q=q -,B 2 (q= =B (q= 得到这种特例 对定义在 [-π,π] 上的任意矩阵值函数 F, 引入 M (F= 2π π -πγ (e jω F(ωΓ * (e jω dω ( 利用文献 [9] 的渐近分布结果可得辨识的未知 参数矢量 ^θ 渐近收敛于真值 θ (^θ -θ (,P P 为矩阵 R 和 Q 的乘积, 矩阵 R 和 Q 分别定义为 P =R - QR - ( E{ φt(θ φt T } R = (θ t= -Eε t æç dφt ö è dθ ø Q = t= l= [ E{ φt(θ φl T ε t ε l } ] { } T, (2

3 264 北京理工大学学报第 32 卷 其中 φt(θ 为预测误差的负梯度, 可定义为 φt(θ=d^yt(θ/dθ 假设整个 Wieer 系统结构是参数可辨识的, 且 [] 真实系统属于所考虑的模型类中, 此时有 ε t =e t, (θ Eε t æç dφt T ö æ (θ { è dθ ø } =E{e t }E ç dφt T ö { è dθ ø } = 从而式 (2 的两矩阵可简化成 R = [ E{ φt(θ φt T } ], t= Q =λ E{ φt(θ φl T } =λ R t= 将式 (3 代入 P 表达式中可得 (3 P =λ R - (4 因 H(q, β, 则此时的一步前向预测误差为 取上式的负梯度为 ε t (θ=yt -X(G(q, β u t ἀ φt(θ= XGut X = (e Γ jω 式中 : X Xu t (5 X = dx (G(q, β u t ἀ ;X = dx (G(q, β u t ἀ d dg(q, β u t 将式 (5 代入式 (3 中 (6 M ( ϕ Xϕu A R = A * R X (7 将 R 代入式 (4 中可得 M ( ϕ Xϕu A P =λ A * R X - P β P T β =λ P β P (8 根据分块矩阵的求逆公式可分别得到两未知参 数矢量 β 和 的方差矩阵为 P β = [ M ( ϕ Xϕu-AR A * ] - X, { P = [ R X ( ϕ X ϕu A] - -A* M - (9 对式 (9 中的求逆运算采用矩阵反演公式可得 P β =M - ( ϕ Xϕu+M - ( ϕ XϕuAP A * M - ( ϕ Xϕu, { P =R - X +R- X A* P β AR - X 由泰勒一阶展开式或高斯近似式可得 G(e jω,^β-g(e jω, β=γ T (e jω (^β-β (2 则 Wieer 系统中线性部分估计的方差为 E { G(e jω,^β-g(e jω, β } 2 = Γ * (e jω P β Γ (e jω (2 将 P β 的表达式 (2 代入到式 (2 中得 λ Γ * (e jω [M - ( ϕ Xϕu+ M - ( ϕ XϕuAP A * M - ( ϕ Xϕu]Γ (e jω (22 取由正交基 {B k (q} k= 构成的生成核函数为 K (ω= B k (q - 2 ξk = 2 (23 k= k= e jω -ξk 2 在式 (22 两边同时除以生成核函数 K (ω: K (ω E { G (e jω,^β-g(e jω, β } Γ * (e jω M - ( λ ϕ XϕuΓ (e jω K (ω + 2 = Γ * (e jω M - ( λ ϕ XϕuAP A * M - ( ϕ XϕuΓ (e jω K (ω 对式 (24 的第 项利用极限式 Γ * (e jω M - ( ϕ XϕuΓ (e jω K (ω = 对式 (24 的第 2 项利用如下极限式 ϕxϕu (24 (25 [Γ * (e jω M - ( u AP A * M - ( ϕ Xϕu ϕxϕ Γ (e jω /K (ω]= ϕ2 X X K (ω (26 ϕ 2 X P 分别将式 (25(26 代入到式 (24 中可得定理 定理 对于式 ( 所描述的 Wieer 系统, 若 仅有白噪声作用于输出观测响应, 当 Wieer 系统满 足如下的假设条件时 : 白噪声 {e t } 满足 E{e t }=,E{e 2 t }=λ, 且 {e t } 与外部的激励信号 u t 不相关 ; 2 X 和 u t,x 和 u t 之间是联合平稳的 ; 3 整个 Wieer 系统结构是参数可辨识的 则参数化线性部分 G(q, β 的基于有限阶次的 渐近方差式可归纳为 K (w E { G (e jω,^β-g(e jω, β } λ ϕxϕu 2 = ϕ 2 X +λ X K (ω (27 ϕ 2 X P 式 (27 右边出现 的方差矩阵 P, 对 P 的求解为 P =[R X -A* M - ( ϕ XϕuAA * M - ( ϕ Xϕu AR - X ]- [ I+A * M - ( ϕ XϕuAR - X ] (28 3 有色噪声下有限阶次的渐近方差式 根据式 (4 可计算在有色噪声作用下, 预测误差

4 王建宏 :Wieer 系统辨识中有限阶次的渐近性分析 265 的负梯度在真实参数值 θ 处的表达式为 ψt = H- (qh(q H - (qg(q H - (q 式中 : X e t (29 Xu t G(q= 췍 G (q, β 췍 β ; H(q= 췍 H (q, β 췍 β 由式 (4 可得未知参数矢量 θ 的方差矩阵 P 为 P =Ascov^θ=λ < ψt, ψt> - (3 根据式 (29 可将方差矩阵 P 改写为 P =Ascov^θ=λ < 췍 ψϕ, 췍 ψ > -, 췍 ψ = H- (qh(q H - (qg(q H - (q (3 ϕ 为矢量 X T [ e t Xu t] 对应的功率谱密度 矩阵, 在定理 假设条件 2 的前提条件下有 ϕ= λ ϕ * uϕ * X X ϕxϕ ϕx ϕx X ϕu u (32 设 ϕx 的最小稳定相位功率谱因子为 R X, 即满足 ϕx =RX R* X 整个功率谱密度矩阵 ϕ 的功率谱因式分解为 R X R= λ ϕ * uϕ * X R -* X X R Δ (33 R Δ = ϕx ϕu -ϕ * uϕ * X X( ϕx - ϕx X ϕu ϕ=rr * 将式 (33 中的功率谱因式分解代入到方差矩阵有 P =λ < ψrr* 췍, 췍 ψ > - =λ < 췍 ψr, 췍 ψr > - =λ < ψ, ψ >-, { ψ= 췍 ψr (34 进一步计算 ψ= 췍 ψr 的具体形式为 H - ψ= 췍 ψr = Gϕ * uϕ * X R -* X X λ H - H H - GR Δ H - R X (35 在有色噪声作用下,Wieer 系统中存在两类线 性参数需要辨识和进行渐近性分析 记 : T(e jω,^β= [ G(e jω,^β H(e jω,^β ] T, 该频响函数估计对未知参数矢量 的求导矩阵为 θ=[ β T T ] G H T(e jω,^β=λ= (36 利用高斯公式可得频响函数估计的渐近方差为 AscovT(e jω,^β=λ ΛAscov^θΛ T (37 对式 (37 的计算利用子空间辨识中的正交投影 [] 来实现 构造一个矩阵 L, 使得 成立 Λ=ψL = 췍 ψrl (38 通过观察发现存在如下关系式 G H = H - H H - G H - 代入式 (38 可得 Λ= 췍 ψ H H H, H Λ= 췍 ψ H = ψrl, 췍 H L=R - H (39 H 根据 R 的具体矩阵形式式 (33 可得到 R - = R - X (4 λ Δϕ * uϕ * X R -* X X R - Δ -R - 将式 (4 代入到式 (39 中可得 L= H / λ (4 R - Δ 对上述推导过程进行归纳, 可得到定理 2 定理 2 对于式 ( 描述的 Wieer 系统, 当有 色噪声作用于输出观测响应, 若 Wieer 系统满足定 理 中的假设条件, 根据所构造的矩阵 ψ 和 L, 设 S ψ 表示由矩阵 ψ 的行向量张成的子空间,{B k } r k=,

5 266 北京理工大学学报第 32 卷 r 是子空间 S ψ 上的一组正交基, 则 Wieer 系统 中系统对象模型和噪声模型的有限阶次渐近方差 式为 AscovT(e jω,^β=λ L T (e jω B k (e jω k= 췍 B k (e jω 췍 L (e jω (42 式 (42 的有限阶次渐近方差中同样不含有模型 阶数, 用一组定义在子空间上的正交基来替换 4 一般情况的推广 因在计算功率谱时, 需要利用到不相关的假设 以简化功率谱的计算 若 {x },{x 2 },{x 3 },{x 4 } 为 4 个随机过程, 它们之间的四阶统计量为 E{x x 2x 3x 4 }=E{x x 2 }E{x 3x 4 }+ E{x x 3 }E{x 2x 4 }+E{x x 4 }E{x 2x 3 } (43 利用式 (43 可计算期望值 E{X u tu * t X },E{X u tx } E{X u tu * t X }=E{X u t }E{u * t X }+ E{X u * t }E{u tx }+E{X X }E{u tu * t }= 2ϕX u +ϕx ϕu (44 E{X u tx }=E{X u tx }=E{X u t }E{X }+ E{X X }E{u t }+E{X}E{u tx }= 本节对上节中的功率谱密度矩阵 ϕ 进行推广 到一般情况下, 首先需证明定理 3 定理 3 假设输入 u t 是一个平稳高斯随机过 程,X( 是一个稳态的非线性函数,X t 是对应的 平稳输出过程, 即 则有 其中 X t =X(u t,e(x t =E(u t =, R Xu (τ=b R u (τ, τ Z R Xu (τ=e(x tu t-τ,r u (τ=e(u t-τu t, b =E(X(u t 对式 (44(45 利用定理 3 可得 : 存在 3 个常数 矩阵 M,M 2,M 3 使得两式中的互谱可改写为 E { Xu tu t * X } =ϕxϕu +2M ϕu =( ϕ X +2M ϕ u, { E{Xu tx }=(M X +M 2u t +M 3X ϕ u 将式 (46 代入到式 (32 中可得到新的功率谱矩阵 (46 ϕx a ϕ= λ +ϕu λ, a * ( ϕx +2M a=(m X +M 2u t +M 3X ϕx ux +ϕx X ut + ϕx ux (45 得到功率谱密度矩阵 ϕ 的谱因式分解为 ϕ=rr * R X R= λ ϕ * ua * R -* X R Δ = ( ϕx +2M ϕ u -ϕ * ua * ( ϕx - aϕ u 将式 (47 和 (48 分别代入定理 2 两矩阵 ψ 和 L 中, 即得一般情况下 Wieer 系统线性部分的有限阶 次渐近方差式 考虑 Wieer 系统的最优输入信号设计问题 根据式 (34 所示的未知参数矢量 θ 的方差矩阵 P =Ascov^θ=λ < ψt, ψt> - =λ < 췍 ψϕ, 췍 ψ > -, 将以上两式代入到上式中可得到方差矩阵 P 췍 ψϕ = H - (47 (48 Gϕ * ua * λ H - H H - G( ϕx +2M ϕ u H - ϕx H - aϕ u 继续整理可得 췍 ψϕ 췍 λ H - HH - H H - Gϕ * ua * H - ψ = H - aϕuh - G H - ϕx H, - H - ϕx H - -H - Gϕ * ua * H - -H - aϕuh - G λ H - HH - H P = λ H - HH - HH - ϕx H - -( H - Gϕ * ua * H - 2 式 (49 为 Wieer 系统中未知参数矢量的渐近 方差矩阵式 因最优输入信号设计问题可归纳为带 有输入功率谱约束条件和以未知参数矢量方差矩阵 (49 的范数为最小性能指标的优化问题, 因此取性能指 标函数为方差矩阵的迹, 约束条件取输入功率谱能 量有限, 构成定理 4

6 王建宏 :Wieer 系统辨识中有限阶次的渐近性分析 267 定理 4 Wieer 系统的最优输入信号设计问题为 最优输入信号的功率谱形式为 H - ϕx H - +λ H - HH - H mi J( ϕ u= ϕ u λ H - HH - HH - ϕx H - - (H - Gϕ * ua * H - 2, st ϕ u(e jω dω K (5 ϕ opt u (e jω =(H - G - (λ H - HH - HH - ϕx H - -μ H - ϕx H - +λ H - HH - H (a * H - - 其中 μ 需满足如下等式成立 μ= λ H - HH - HH - ϕx H - - ( H - GKa * H - 5 仿真算例 H - ϕx H - +λ H - HH - H 2 (52 (5 近 并在 rad/s 之后, 经典的渐近曲线稍有上升, 从而产生偏离 象模型为 考虑如下 Wieer 系统, 其中线性部分的系统对 G(q, β 5q 2 +q+2 = (q-6(q-4(q-3 (53 即 G(q, β 的 3 个极点分别为 {6,4,3}, 恰好满足都位于单位圆盘之内 而其中非线性部分 采用饱和非线性形式, 并且用一个标量 来参数化 u u [- ] X(uἀ= - u <- (54 u > 采用平稳高斯随机过程作为实施系统辨识算法 的输入信号, 且输入信号的功率谱密度选择为 ϕu(ω= cosω (55 通过观测 4 对输入输出观测响应数据, 即 = 4 5 白噪声激励下的模型仿真 当仅白噪声 e t 作用于输出观测时,e t 的方差值 取为 λ = 此时对系统对象模型 G(q, β 的渐 近性分析结果有真实值, 文献 [4] 中的经典值和本文 中有限阶次的渐近值 3 种 其中真实值可通过采样 的方法来获取 ; 经典值根据文献 [4] 中的公式来求 取 ; 有限阶次的渐近值通过式 (27 来求取 3 种取 值结果对比见图 3 图中实线为真实的采样渐近曲 线, 点线为有限阶次的渐近曲线, 虚线为经典的渐近 曲线 由图 3 可见在低频和高频处 3 条曲线都能基 本吻合, 但在 ~rad/s 范围内存在偏移, 相比之 下有限阶次的渐近曲线与真实采样渐近曲线靠的更 图 3 白噪声激励下的线性部分的渐近性分析比较 Fig3 Resultsofliearpart sasymptoticaalysisofwieer systemexcitedbywhiteoiseforcompariso 52 有色噪声激励下的模型仿真 对白噪声增加噪声模型, 实现对白噪声的滤波 处理, 使得作用于观测输出的噪声为一个有色噪声 设增加的噪声模型为 H(q, β = -2q2-6q+5 q 3-2q 2 +5q-54, ( 56 对此过程实施上述相同的仿真, 此时基于有限阶次 的渐近分析需采用式 (42 来计算 对比仿真图形见 图 4 在有色噪声作用并且已知系统对象模型的 图 4 有色噪声激励下的线性部分的渐近性分析比较 Fig4 Resultsofliearpart sasymptoticaalysisofwieer systemexcitedbycoloredoiseforcompariso

7 268 北京理工大学学报第 32 卷 3 个极点时, 有限阶次的渐近值能更好地从外向内地接近于真实采样值 6 结束语 在白噪声和有色噪声激励下, 采用一组由正交基函数定义的生成核函数来分别推导出 Wieer 系统中线性部分的有限阶次渐近方差式 以此有限阶次渐近方差式研究系统的最优输入信号设计问题是需要进行的主要课题方向 参考文献 : []iessb,gustafsso FA uifyigcostructioof orthoormalbasisforsystemidetificatio[j]ieee Trasactio o Automatic Cotrol,997,42 (4: [2]LjugLSystemidetificatio:theoryfortheuser[M] [Sl]:PreticeHal,999 [3]iessBTheasymptoticCRLBforthespectrum of ARMA process [J] IEEE Trasactio o Sigl Processig,23,5(6:52 53 [4 ] iess B, Hjalmarsso H Variace error quatificatiosthatareexactforthefiitemodelorder [J]IEEE Trasactioo AutomaticCotrol,24, 49(8: [5]iessBOtheCRLBforcombiedmodeladmodel orderestimatio ofstatioarystochasticprocess[j] IEEE SigalProcessig Leters,24,(2: [6]iessB,Hjalmarsso HThefudametalroleof geeralorthoormalbasesisystemidetificatio[j] IEEETrasactiooAutomaticCotrol,999,44(7: [7]iessBFrequecydomaiaalysisoftrackigad oiseperformace ofadaptivealgorithms[j]ieee Trasactio o Sigal Processig, 998,46 (5: [8]iessB,GibsoSQuatifyigtheaccuracyofHammerstei modelestimatio[j]automatica,22,38 (5: [9]iessB,HjalmarssoHTheefectofregularizatio ovariaceerror[j]ieee Trasactioo Automatic Cotrol,24,49(7:42 47 []iessb,hjalmarsso HOthefrequecydomai accuracyofclosedloopestimatio[j]automatica, 25,4(3:9 22 []iessb,hjalmarssohaalysisofthevariability of joit iput output estimatio methods [J] Automatica,25,4(3:23 32 ( 责任编辑 : 赵业玲 췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍 ( 上接第 26 页 参考文献 : []Hu Guag, Ma Jiahua, Huag Bexiog High throughputimplemetatioof MD5algorithm o GPU [J] Ubiquitous Iformatio Techologies & Applicatios,29,ICUT9: 5 [2] 刘凯, 车明, 秦存秀 一种高吞吐量 MD5 算法的 FPGA 实现 [J] 微处理机,28,29(:88 9 Liu Kai,Che Mig,Qi CuxiuA highthroughput FPGAimplemetatioofMD5algorithm[J]Microprocessors,28,29(:88 9(iChiese [3]Helio Techology High performace MD5 HASH coreforxilixfpga[eb/ol](22-6-2url: htp://wwwheliotechcom/dowloads/md5_xilix_ heliocoreṗdf [4]JärvieK,Tommiska M,SkytaJHardwareimplemetatioaalysisofthe MD5 Hashalgorithm[C] Proceedigsof The38th Aual HawaiIteratioal Cofereceo System Scieces[Sl]:IEEE Press, 25: [5]WagYuliag,ZhaoQiuxia,JiagLiehui,etalUltra high throughput implemetatios for MD5 Hash algorithm o FPGA [J]Lecture otesi Computer Sciece,2,5938: ( 责任编辑 : 刘芳

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