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1 投稿類別 : 物理類 篇名 : 作者 : 鄭瀚 桃園市私立新興高中 一年 214 班 指導老師 : 范文賓老師

2 壹. 前言 一. 研究動機 : 在生活中, 到處都可以見到 擺 的應用, 像是盪鞦韆 鐘擺 需上發條的節拍 器... 在這些不同種類的擺中, 我們目前所學到的有單擺的週期公式 T = 2π, 但沒有說明這項公式是如何推導出來的 於是我便去查資料, 了解了公式的由來, 並查到了其中一項單擺的應用 蛇擺 二. 研究目的 : ( 一 ). 了解單擺週期公式的由來 ( 二 ). 用圖表認識蛇擺頻率和擺動幅度的變化關係 三. 研究大綱 : ( 一 ). 了解單擺週期公式由來 ( 目前課本教的 ) ( 二 ). 運用軟體繪製出單擺擺長與頻率變化關係圖 ( 三 ). 運用繪圖軟體繪製蛇擺擺垂位置和頻率的變化關係圖 1

3 貳. 正文 一. 單擺週期公式由來 : ( 一 ). 示意圖 : 圖 ( 一 ) ( 二 ). 公式推導 : 1. 符號代表 L : 單擺擺長 m: 單擺擺錘質量 θ : 單擺擺角 x : 擺錘到平衡點的位移 2. 公式 :T = 2π ( 擺角 θ 接近零時可用簡諧運動推導 ) 簡諧運動 : 若受力滿足 F =-kx 則週期可寫為 T = 2π 證明 : 如圖 ( 一 ) 擺錘所受重力 mg 可分解成 mgsin θ 及 mgcos θ 其中 mgcos θ 和擺繩拉力 P 抵銷, 回復力為 mgsin θ 即為 F =- mgsin θ 當擺角 θ 接近零時 F =- mgθ, θ= 2

4 所以 F =- mg 整理可得 F =- x 其中令 - =k 代入簡諧運動週期公式 單擺週期即可寫成 T =2π = 2π ( 三 ). 由上述推導過程可知 : 單擺公式為 T=2π 時, 擺角 θ 必須 接近零, 印證課本上寫的擺角 θ< 5 二. 單擺的應用 蛇擺 ( 一 ). 蛇擺, 由數個單擺組成 ( 二 ) 每個單擺的頻率成等差數列 ( 三 ). 開始擺動後出現行進波的形狀, 行進波波長隨時間變化愈來愈短, 漸漸進入紊亂, 最後回到初始的一直線狀態 三. 以繪圖軟體 ( 詳 : 引註資料 ) 繪製出蛇擺擺動幅度和時間的變化關係圖 ( 一 ). 蛇擺中各單擺擺長對頻率變化關係 : 1. 由單擺公式 T = 2π 及頻率和週期成倒數關係 T = 得到 L=, 所以 L 2. 關係圖 : 圖 ( 二 ) 3

5 單擺及其應用 蛇擺 3.由此圖可知當單擺頻率 f 愈小 擺長 L 的變化愈劇烈 4. 下列 第(二)點蛇擺擺垂位置和時間的變化關係圖 取上述關係圖中 頻率 0.85 次/秒 頻率 0.9次/秒 頻率 0.95次/秒...頻率1.15次/秒 共 7 個單擺作為數據 (二).蛇擺中各單擺擺擺垂位置與時間關係圖 : 1.已知單擺在擺角θ接近零時可用簡諧運動推導 2.因此蛇擺中各單擺擺垂位置與時間關係式可寫成 x = d cos(𝑓 2𝜋𝑡) + 𝑑 符號代表 : x :各單擺擺垂位置(cm) 如右圖(三) 向右為正 d :各單擺擺動幅度(cm) 不超過1.634cm 避免擺 角過大 f : 各單擺頻率(次/秒) 以下分別以 0.85 次/秒 0.9次/秒 0.95次/秒 次/秒共 7 個單擺 作為數據 t 從開始擺動所經過的時間(秒) 圖(三) 3. 蛇擺中各單擺擺垂位置與時間關係圖 : (1).關係圖總成 : 圖(四) (2).關係圖段落放大 : 4

6 (3). 由圖 ( 四 ) 可看出此蛇擺完成一個週期為 20 秒, 會發現以 t=10 當對稱軸時, 左右圖形對稱 (4). 從 (2). 關係圖段落放大中圖 B 可發現 : 取出單擺 a 單擺 c 單擺 e 單擺 g (20 秒擺偶數次的單擺 ) 及單擺 b 單擺 d 單擺 f (20 秒擺奇數次的單擺 ) 在 t=10 的時候 : 單擺 a 單擺 c 單擺 e 單擺 g (20 秒擺偶數次的單擺 ) 擺垂位置同為 0(cm) 單擺 b 單擺 d 單擺 f (20 秒擺奇數次的單擺 ) 擺垂位置同為 3.268(cm) 所以在 t=10 的時候,(20 秒擺偶數次的單擺 ) 及 (20 秒擺奇數次的單擺 ) 間的距離最遠 ( 2 倍振幅 ) (5). 設 n N( 正整數 ) 若取 20 秒擺 n 次的單擺 ( 單擺 a 單擺 b... 單擺 g) 可發現 : ( 單擺 a 單擺 b... 單擺 g) 的頻率成等差數列, 此等差數列 的公差 = 而這些 20 秒擺 n 次的單擺可以構成另一個蛇擺 ( 由 (1). 關係圖總成可知 : 此蛇擺週期為 20 秒 ) 若取 20 秒擺 2n 次的單擺 ( 單擺 a 單擺 c 單擺 e 單擺 g) 可發現 : ( 單擺 a 單擺 c 單擺 e 單擺 g) 的頻率成等差數列, 此等 差數列的公差 = 而這些 20 秒擺 2n 次的單擺可以構成另一個蛇擺 ( 由 (1). 關係圖總成可知 : 此蛇擺週期為 10 秒 ) 所以我認為 : 若蛇擺中各單擺頻率間的公差 = k, 且各單擺的頻率不互 質, 則此蛇擺的週期 = 秒 5

7 參. 結論 一. 正文結論 : ( 一 ). 單擺 : 1. 目前所學的單擺週期公式 T=2π 只適用於小角度擺動 2. 當單擺頻率 f 愈小, 擺長 L 的變化愈劇烈 ( 二 ). 蛇擺 : 1. 由數個單擺組成 2. 每個單擺的頻率成等差數列 3. 當蛇擺完成一個週期為 x 秒時, 會發現蛇擺中各單擺擺擺垂位置與 時間關係圖中以時間 t = 當對稱軸時, 左右圖形對稱 4. 蛇擺完成一個週期為 x 秒, 會發現當 t = 時,( x 秒擺偶數次的單 擺 ) 及 ( x 秒擺奇數次的單擺 ) 距離最遠 ( 2 倍振幅 ) 5. 若蛇擺中各單擺頻率間的公差 = k, 且各單擺的頻率不互質, 則此 蛇擺的週期 = 秒 二. 感想 : ( 一 ). 研究過程 : 這次為了瞭解單擺的週期公式, 本以為很簡單, 沒想到多方蒐集資料後, 發現竟然需要用到高二才會學到的簡諧運動公式 於是便到了圖書館借一些有關力學的書, 加上網路的資料, 努力了一段時間, 才終於了解單擺週期公式的由來 瞭解了單擺週期公式由來後, 我想知道單擺可以做什麼應用 有沒有辦法把單擺的擺錘位置變化畫在座標上, 於是查了一些資料, 查到了一個單擺的應用 蛇擺, 並得知單擺擺垂位置 ( 簡諧運動 ) 畫在座標平面上竟然是正弦曲線, 在大概了解正弦曲線後, 便設計了一套數據以 autocad 繪製出 蛇擺中各單擺擺垂位置與時間變化關係圖, 得到以上結論 6

8 ( 二 ). 研究中遇到的困難 : 1. 由於我們尚未學到三角函數, 所以只好問問老師三角函數是什麼 經 過老師清楚的講解, 我花了一段時間才得出蛇擺中各單擺擺垂位置與 時間關係式 :x = d cos(f 2πt) + d 2. 在知道蛇擺這樣東西後, 本來想自行製作一個蛇擺用來方便觀察它的週期變化及擺盪過程, 但技術上的問題 ( 擺長長度的調整 空氣阻力... 外在因素 ), 很難調到理想狀態, 就算調到理想狀態, 也很快就停了, 最後只好放棄實驗, 自行設計數據來繪圖模擬 ( 三 ). 未來期望 : 1. 這次了解了單擺公式的由來及其中一項單擺的應用 蛇擺, 但還有 許多擺的應用是我未知的, 衝擊擺 錐擺 傅科擺... 各式各樣不同 種類的擺, 希望以後可以了解更多 2. 了解蛇擺後, 知道蛇擺是由數個單擺組成, 每個單擺頻率成等差數列, 於是我便有了發想, 如果改成擺長成等差數列會有什麼改變? 如果 改成週期成等差數列又會有什麼改變? 3. 以後有機會, 希望能夠克服技術上的問題, 真正自己動手做出接近理 想狀態的蛇擺 7

9 肆. 引註資料 : 一. 圖片 : ( 一 ). 圖 ( 一 ) 圖( 三 ) 圖( 四 ) 以 autocad 繪製圖 ( 一 ) 圖( 三 ) 繪製說明運用指令 line- 線 畫實線及虛線 circle- 畫圓 畫圓 pline- 聚合線 畫箭頭 hatch- 填充線 畫剖面示意材質 dimangular- 角度標註 圖 ( 四 ) 繪製說明步驟 1. 先在作業圖面以 pline- 聚合線 畫好輔助線 (X 軸為 -20 秒內擺動次數 23 次之分割 ;Y 軸為 - 單擺位置 ) 步驟 2. 運用指令 spline- 建立由控制框中的頂點所定義的平滑曲線 中的 弦, 通過每一輔助線交叉點, 形成自然正弦, 得到此 23 擺動次數的 弦 關係圖 步驟 3. 再以此圖作 X 軸向的等比縮放, 分別得出 等 弦 關係圖, 再對齊原點置入座標, 即得到 圖 ( 四 ) 步驟 4. 再以圖 ( 四 ) 作分割 A B C 局部放大註解 註 : 從事建築設計的父親建議採用 AUTOCAD 來繪製取得所需圖形, 既方便, 又精準 另外, 還多學了一項工具, 對於日後製作論文報告, 肯定有幫助 ( 二 ). 圖 ( 二 ) 以 Geogebra 繪圖計算機軟體繪製 二. 查詢書籍 : 姚珩 (1998) 物理學的基礎 力學 中華民國中山學術文化基金會中山文庫. 科技系列 三. 查詢網站 : ( 一 ). 單擺週期公式 ( 二 ). 蛇擺 國立中央大學科學教育中心 ( 三 ). 中央大學 物理演示實驗 - 蛇擺 8