Academia Arena 2017;9(15s) 弹性势能的外势能不具有伽利略变换的不变性 李学生 (Li Xuesheng) 山东大学副教授, 理论物理教师, 中国管理科学院学术委员会特约研究员, 北京相对论研究联谊

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1 . 弹性势能的外势能不具有伽利略变换的不变性 李学生 (Li Xuesheng) 山东大学副教授, 理论物理教师, 中国管理科学院学术委员会特约研究员, 北京相对论研究联谊会会员, 中国民主同盟盟员 ( 作者为中国科学院高能物理所研究员 ) 摘要 : 文章首先给出了轻质弹簧的一个性质定理, 然后分析了关于外势能的弹性势能机械能守恒定律满足力学相对性原理, 也具有单独的协变性, 弹性势能不具有伽利略不变性, 解决了关于这个问题的争论 [ 李学生 (Li Xuesheng).. 弹性势能的外势能不具有伽利略变换的不变性. Academ Arena 207;9(5s): 4-46]. (ISSN X). doi:0.7537/marsaaj095s7. 关键词 : 轻质弹簧 ; 性质定理 ; 伽利略不变性 ; 力学相对性原理 ; 机械能守恒中图分类号 :O 33. 文献标识码 :A 参考文献 []- [] 都有这样一个题目 : 一质量为 m 的小球与一劲度系数为 k 的轻质弹簧相连组成一体系, 置于光滑水平桌面上, 弹簧的另一端与固定墙面相连, 小球做一维自由振动 试问在一沿此弹簧长度方向以速度 u 相对于作匀速运动的参考系里观察, 此体系的机械能是否守恒, 并说明理由 ( 地球的质量视为充分大, 从而稳定地保持为惯性系 ) 由于弹簧和小球连接在一起, 物理量之间存在着联系, 因此可以等效认为弹性势能属于弹簧, 但是本质上属于小球 为此我们首先给出轻质弹簧的一个性质定理 轻质弹簧的性质定理 : 轻质弹簧虽然始终是两端受力而不是单端受力, 但是计算轻质弹簧的形变和弹性势能时, 设有两种情形 : 第一, 将轻质弹簧的一个端点视为相对静止, 此时劲度系数为 k; 第二, 将其中点视为相对静止, 则可视为两根串联的弹簧, 其劲度系数是 2k 证明 : 当观察者在弹力所在直线上的分速度为 0 时假设轻质弹簧所受外力为 F, 我们可以从两个角度认识, 一方面将轻质弹簧的一个端点视为相对静止, 此时劲度系数为 k, 形变为 x, 我们当初定义劲度系数 k=f/x, 弹性势能为 2 kx 2 ; 换一个角度如果认为弹簧是两端受力使弹簧发生形变, 此时应该视为为两个劲度系数相同的弹簧串联, 根据弹簧串联的知识可以知道这 时每个轻质弹簧的劲度系数为 2k, 弹性形变为 2 x, 整个弹簧形变还是 x, 弹性势能为 2 k( 2 x) 2 2 kx 2 也不变 所以在轻质弹簧问题中考虑两端受力与一端受力计算弹性形变和弹性势能是等效的, 只不过等效劲度系数不同, 但是由于整个弹簧的劲度系数不变, 计算弹簧振子周期时仍然用 k, 这是轻质弹簧的一个性质 2 当匀速运动( 变速运动也成立, 本文不再讨论 ) 的观察者相对于轻质弹簧的固定点在弹力所在直线上的分速度不等于 0 时, 根据对称性原理,dE p (t) f d0.5x f dx, 与只考虑一端受到的力产生的效果相同 证毕 说明 : 轻质弹簧的性质定理只是说明考虑两端受力效果计算用 2k, 考虑一端受力效果劲度系数用 k 计算, 这里采用等效的观点处理问题, 爱因斯坦创立广义相对论时也曾经采用过等效原理 该定理不代表弹簧的劲度系数发生了变化, 其实弹簧的劲度系数是伽利略不变量, 下面是朱如曾研究员的证明 根据质量 时间和空间坐标的伽利略变换式, 弹簧的无形变长度 l 0 和伸长 (x-x 0 ) 以及质点的加速度均是伽利略不变量 力学相对性原理保证牛顿第二定律适用于任何惯性系, 故力也是伽利略不变量, 因此弹簧拉力 f 是伽利略不变量, 由于伸长 (x-x 0 ) 也是伽利略不变量, 所以作为拉力与伸长之比的弹性系数也是伽利略不变量, 但是胡克定律不具有伽利略变换的不变性 4

2 考虑到弹簧两端受力都使弹性势能发生改变时, 如果继续用劲度系数 k 计算弹性势能, 能量显然会增大, 其实无论如何分割弹簧, 弹性势能应该是不变的 对于两端都有位移的弹簧的总伸长定义为一端的形变 弹簧振子是一个不考虑摩擦阻力, 不考虑弹簧的质量, 不考虑振子的大小和形状的理想化的物理模型 由于忽略了弹簧的质量, 所以系统的机械能就是小球的机械能 当初定义轻质弹簧的劲度系数 k 时, 是用一端受力定义的 ( 其实是两端受力, 另一端按照固定不变定义 ), 如果按照两端受力, 劲度系数都用 k 计算, 形变有可能超过弹性限度 参考解答提出在运动系中弹簧在靠近墙的一端所受的力也做功, 这样计算也可以, 此时必须按照两个相同的弹簧串联处理, 每一个的劲度系数为 2k, 由于整个弹簧的劲度系数不变, 周期不变, 结果是等效的, 因此参考解答错误 如果再单独计算墙对于弹簧做功就重复了, 才出现了机械能不守恒的错误 如果考虑墙对于弹簧所做的功, 显然可以测量出小车相对于墙的运动速度, 这与力学相对性原理 ( 不可能借助在惯性系中所做的力学实验来确定该参考系做匀速直线运动的速度 ) 是不符合的 弹簧振子不是弹簧 + 质点, 而是质点受到线性回复力 解 : 在地面参照系上观察时, 以小球的平衡位置为坐标原点, 以水平向右的直线 ox 为 x 轴, 建立直线坐标系如图 所示 墙 F m o v u 小车 光滑水平地面 图 弹簧振动振子机械能守恒问题新解 x x 当 t 0 时刻, 将小球向右拉至最大振幅并放手, 使之做简谐振动, 则小球的位移为 : x Acos(ωt), 其中 ω 2 k/m,k mω 2 设小球的速度为 v, 加速度为 a, 受到的力为 f, 动能为 E k (t), 势能为 E p (t), 机械能为 E(t) 则有: dx dv v dt ωasin(ωt),a dt ω 2 Acos(ωt),f ma mω 2 Acos(ωt) kx. E k (t) 2 mv 2 2 m[ ωasin(ωt)] 2 2 mω 2 A 2 sin 2 (ωt) 2 ka 2 sin 2 (ωt) () kx 2 de p (t) f dx kxdx d 2,Ep(t) 2 kx 2 C. 将初始条件 t 0 时,x A,E p (0) 2 ka 2 代入上式得 : 2 ka 2 E p (0) 2 k A 2 C,C 0, E p (t) 2 kx 2 C 2 kx ka 2 cos 2 (ωt) (2) E(t) E p (t) E k (t) 2 ka 2 cos 2 (ωt) 2 ka 2 sin 2 (ωt) 2 ka 2 常数 (3) 设地面参照系和沿此弹簧长度方向以速度 u 作匀速运动的参考系 ( 设为小车, 见图 ) 刚开始相对运动时完全重合, 开始相对运动后, 当 t 0 时刻, 将小球向右拉至最大振幅并放手, 使之做简谐振动 直觉判断 : 因为小球在最大位移处以匀速度量值 u 相对于小车沿 x 轴负向运动, 我们规定此时地面系和小车系的势能相等, 所以在小车参照系上观察 ( 即以小车参照系为静止系 ) 时, 弹簧振子体系 ( 或小球 ) 的机械能比在 42

3 地面参照系上观察时, 增加 2 m( u) 2 2 mu 2, 所以在小车参照系上观察时, 弹簧振子体系 ( 或小球 ) 的 机械能为 :E (t) E(t) 2 mu 2 2 ka 2 2 mu 2 常数 所以, 在小车参照系上观察时, 弹簧振子体系 ( 或小球 ) 的机械能守恒, 守恒值为 2 ka 2 2 mu 2, 这里采用特殊点判断, 下面给出一般证明 数学推导 : 设在小车参照系上观察时, 小球的位移 速度 加速度 受到的力 动能 势能 机械能分别为 x,v, a,f,e k (t),e p (t),e (t) 则有: dx dv x x ut Acos(ωt) ut,v dt ωasin(ωt) u,a dt ω 2 Acos(ωt) a, f ma ma mω 2 Acos(ωt) kx ( 说明 :f kx, 胡克定律不具有伽利略变换的不变性, 胡克定律不是牛顿定律的推论, 不代表经典力学不满足力学相对性原理 ) 2 E k (t) 2 v m 2 m[ ωasin(ωt) u] 2 2 m[ω 2 A 2 sin 2 (ωt) 2ωuAsin(ωt) u 2 ] 2 ka 2 sin 2 (ωt) mωuasin(ωt) 2 mu (4) kx 2 mωuasin( ωt) de p (t) f dx kxd(x ut) kxdx kuacos(ωt)dt d 2, E p (t) 2 kx 2 mωuasin(ωt) C. 将初始条件 t 0 时 x x A,E p (0) E p (0) 2 ka 2, 代入上式得 : 2 ka 2 E p (0) 2 ka 2 mωuasin(ω 0) C,C 0, E p (t) 2 kx 2 mωuasin(ωt) C 2 kx 2 mωuasin(ωt) cos 2 kx 2 mωuasin(ωt) 2 ka ωt mωuasin(ωt) (5), 因此势能是时间 t 的一元函数 E (t) E p (t) E k (t) 2 kx 2 mωuasin(ωt) 2 ka 2 sin 2 (ωt) mωuasin(ωt) 2 mu 2 2 ka 2 cos 2 (ωt) 2 ka 2 sin 2 (ωt) 2 mu 2 2 ka 2 2 mu 2 常数 (6) 所以, 在小车参照系上观察时, 弹簧振子体系 ( 或小球 ) 的机械能仍然守恒, 守恒值为 2 ka 2 2 mu 2.[2] 当 u=0 时两个坐标系重合, 守恒值相等, 符合玻尔的对应原理 有人认为我们的计算忽略了墙壁的作用, 这是一种误解, 根据轻质弹簧的性质定理, 考虑小球 ( 振子 ) 对于弹簧的作用力时考虑弹簧的一端受力, 劲度系数用 k 计算, 如果考虑到墙壁的作用, 此时是利用弹簧的 43

4 两端受力, 是两个弹簧的串联, 劲度系数用 2k 下面利用反证法说明考虑墙壁的作用力, 劲度系数依然按照 k 计算的错误 假设墙壁的作用力单独改 变振子的机械能, 与振子的作用力一样, 根据对称性原理, 必然改变弹簧的形变, 那么弹簧的形变就不再是 伽利略变换的不变量, 以弹簧的伸长为例, 如果考虑墙壁的作用, 当振子运动到最大位移处, 振子对于弹簧 的拉力 F=kA 对于小车系, 测量的力也是 F=kA, 墙壁的拉力是 F =-ka, 如果此时劲度系数依然按照 k 计 算, 此时弹簧的形变为 2A, 弹性势能是地面系的 4 倍, 这样弹簧的形变就不是伽利略变换不变量, 弹性势能 也不是伽利略变换的不变量, 这实际是处于自相矛盾的处境 从上述推导可以看出两点 : 当 u 0, 只有 ωt nπ,nn 时才有 :E p (t) E p (t); 当 u=0 时, 二者显然 相等, 这也符合玻尔的对应原理 在分析这个问题时不能在地面系用外势能机械能守恒定律 ( 把地球质量认为充分大 ), 在小车系用内势 能机械能守恒定律 ( 把地球质量视为有限值 ), 考虑地球受到的惯性力, 前后不自洽 因为力具有伽利略变换的不变性, 在两个不同的惯性系中质点受到的合力是不变的, 所以如果在一个惯 性系中机械能守恒, 在另一个惯性系中机械能也一定守恒 因为只有非保守力做功, 才使机械能发生变化 [3 ] 解法 2: 在地面系 E k (t) 2 mv(t) 2 ka 2 sin 2 (ωt), () E p (t) 2 kx 2 = 2 ka 2 cos 2 (ωt), (2) E(t) E p (t) E k (t) 2 ka 2 cos 2 (ωt) 2 ka 2 sin 2 (ωt) 2 ka 2 常数 (3) 在小车系 E k (t) 2 v 2 m 2 m(v u) 2 2 mv 2 mv.u 2 mu 2 ( x x t t mdv udt dt x de f dx f dx f udt E p = 0 P = kx E p (t) E k (t) 2 v m t + 2 kx mu 2 =E+ 2 mu 2 =E (6) 式 (3) 和式 (6) 比较可见, 弹簧振子 ( 质点 ) 机械能守恒定律在各惯性系都成立 经典弹性势能公式的局限性分析 2 kx 2 mv.u (5) 2 2 cos E p (t) 2 ka ωt mωuasin(ωt)= 2 kx 2 mωuasin(ωt) 应该是惯性系中弹簧振子中弹性势能的一般公式, 没有否定经典的弹性势能公式, 原来的公式只是一个特例 观察者在弹簧弹力方向上没有位移或者说分速度为 0( 相对于固定点静止或者垂直于弹力方向上匀速运动 ), 不能认为弹性势能对于所有的观察者都相同, 需要根据 物体的势能增加量等于物体克服保守力做的功 重新计算 ( 重力势能和万有引力引力势能也存在类似问题, 不必记忆公式 ), 当观察者在力的方向上分速度不相等时, 计算保守力做的功不相等, 因此势能差也应该不相等, 这说明弹性势能和重力势能一样具有相对性, 这是经典力学在公理化的过程中向前迈进的一小步 周衍柏 理论力学教程 (979 年第一版, 人民教育出版社 ) 第 47 页 由于物体间相对位置发生变化所具有的能量, 通常叫做势能 这里势能应该是指内势能, 具有伽利略变换的不变性, 在外势能中如果二者质量差别极大, 例如本题中的地球和弹簧振子, 此时可以把质量较大的物体的质量视为充分大, 可以认为是质量较小物体的外势能 ( 此时的系统误差远远小于由于地球质量测量误差造成的误差小得多, 由于证明比较简单, 本文从略 ), 外势能不具有伽利略变换的不变性, 但是机械能守恒定律具有伽利略变换的不变性 对于势能属于系统应该全面理解, 特殊情况下认为外势能存在 ( 这是一种数学处理方法 ), 量变引起了质变 44

5 E p 2 kx 2 是根据 物体的势能增加量等于物体克服保守力做的功 推导出来的, 如果后者错误, 前者显然错误, 当二者发生矛盾的, 只能考虑前者有错误 ( 在数学中当 定理 与公理矛盾时我们只能 定理 ) 经典的弹簧弹性势能公式 E p 2 kx 2 不是定义式, 也是在特定条件下推导出来 ( 观察者在弹力方向上的分速度为 0), 并非对于所有的观察者都成立,300 年来人们一直把二者当成充要条件, 也就是说关于弹性势能的外势能差不具有伽利略变换的不变性, 人们由于没有认识到这一点才提出了各种各样的解释, 这是机械能守恒定律与力学相对性原理关系争论的根源所在, 不完全归纳法得出的结论不一定是普遍的真理 如果我们这样认识经典力学, 去除了一些错误的认识, 经典力学便显得更加和谐 如果考虑到这一点, 原来各家杂志上对于这个问题的争议便全部迎刃而解, 请读者自行分析, 本文从略 如果坚持 E p 2 kx 2 []- [3] 适用于所有情况, 由于弹簧的形变是伽利略变换不变量, 因此参考文献中的部分文章坚持认为弹性势能差对于不同的观察者不变, 才出现了机械能不守恒的错误结论, 为了解释这个问题人们提出了机械能守恒定律可以不满足力学相对性原理或者满足力学相对性原理, 但不具有单独协变性的错误的理论, 在功能原理中直接去掉外势能的概念 胡克定律 F=kx, 在这里是实数与矢量 ( 向量 ) 的积,x 是弹簧的形变, 是一维矢量, 弹性势能应该是 d E p kx d s, 在这里是数量积 ( 标量积 ), 当观察者在弹力 方向上的分速度为 0 时,x=s, 便得出了 E p 2 kx 2 ; 当观察者在弹力方向上的分速度不为为 0 时不是始终相等的, 如果此时利用 d E p =kx dx 计算弹性势能就错了, 这样计算力就不是伽利略变换的不变量了 正如爱因斯坦所讲的 : 从原始的文献中追踪理论的形成过程, 往往会对于事物的本质产生更加深刻的认识 如果认为弹性势能对于所有的匀速运动的观察者都不变, 那么得出的机械能显然是速度 v 的函数, 与伽利略当年的大船实验显然是不相符的 理解这个问题必须深刻理解力学相对性原理的本质, 不能不自觉地把运动系中的观察者又转移到地面系, 不突破这个问题很难理解机械能守恒定律与力学相对性原理的关系, 得出机械能守恒定律不满足力学相对性原理的或者机械能守恒定律在伽利略变换中不具有单独协变性的错误 [4] [5] 主要结论 通过本文得出了关于弹性势能的机械能守恒定律不但满足力学相对性原理, 而且具有单独的协变性, 对于内势能势能差是伽利略变换的不变量, 对于外势能势能差不是伽利略变换不变量, 经典力学没有明确指明, 才导致了这场争论, 使人们发生了误解, 这不是经典力学的错误 经典的外势能的弹性势能公式仅适用于观察者在弹力所在直线上的分速度为 0 时的情形, 弹性势能不仅与弹簧的形变有关, 也与观察者有关 ( 能量是做功的能力, 不同的观察者测量者可以不同 ) 几点说明 : 有人认为 墙壁 ( 含地球 ) 的质量视为充分大, 所以这个外界它是一个大能库! 它的速度发生无限小变化, 就能提供或者吸收有限的能量 笔者认为 在地面系看来, 机械守恒定律成立, 说明此时是把地球当做严格的惯性系, 不考虑地球的加速度, 地球的质量为充分大, 在小车系看来也应当没有外力使其发生的位移, 只有小车相对于地球运动产生的位移, 因此不考虑地球与该系统的能量交换, 在这个问题中把地球当做能量库是错误的 如果承认在小车系机械能不守恒, 必然存在半个周期系统的能量减少, 可是地球质量视为充分大, 外力不可能对其做功 在这个问题中既然没有耗散力, 能量消失的途径为何? 2 有人认为 : 由于墙壁和地球对弹簧振子系统而言是外界, 弹簧振子系统的机械能增加来源于墙壁对它做功 ; 弹簧振子系统的机械能减少, 是通过弹簧对墙壁做功转给了墙壁和地球系统 能量守恒定律对封闭系统成立, 弹簧振子系统不是封闭系统, 存在与其相互作用的外界 ( 墙壁和地球 ), 所以一般说来谈不上能量守恒 只在地球上看, 墙壁虽然对弹簧有作用力, 但是不做功, 根据机械能守恒定律, 弹簧振子系统才机械能守恒 诺特定律说, 时间平移对称性保证封闭系统能量守恒, 但是弹簧振子系统并不是封闭系 ( 有墙壁的作用 ), 所以不适用 在地球上看, 弹簧振子系统虽然不封闭, 不能直接应用诺特定理, 但是墙壁不做功, 所以根据机械能守恒定律, 弹簧振子系统机械能守恒 而在小车上看, 不仅不封闭, 而且墙壁还做 ( 正负 ) 功, 所以诺特定律和机械能守恒定律都不适用 解答 : 如果把地球 弹簧 小球看做一个系统得出的结论也一样, 此时必须以系统的质心为参照系, 地 45

6 球不再是严格的惯性系 因为本题把地球的质量视为充分大 ( 因为以地球为参照系时也是把地球的质量视为充分大得出的结论, 否则机械能守恒定律也不成立, 这也是有人按照两体问题解决的原因, 地球质量近似看做充分大, 可以不用考虑惯性力的问题 ), 只有外势能, 没有内势能, 只需考虑弹簧振子的能量即可, 弹簧振子的能量经过计算也是守恒的 参考文献 : [] 高炳坤 力学中一个令人费解的问题 [J] 大学物理,995(5): [2] 李光惠, 高炳坤 对 力学中一个令人费解的问题 的补充,996(0):44-45 [3] 赵凯华, 罗蔚茵 新概念物理教程力学 [M] 北京 : 高等教育出版社,2000:24 [4] 高炳坤 能量追踪 [J] 大学物理,200(3):5 6 [5] 高炳坤 一个保守力做的功等于势能的减少吗 [J] 大学物理,200(5): 9-20 [6] 高炳坤 从 4 个参照系看弹射过程 大学物理,200(7) [7] 蔡伯濂 关于讲授功和能的几个问题, 工科物理教学,98(),7-3 [8] 王立 张成华 机械能守恒定律具有伽利略变换不变性 吉林师范大学学报 ( 自然科学版 ), [9] 李兴毅, 陈健, 赵佩章, 赵文桐 伽利略变换的物理意义 河南师范大学学报 ( 自然科学版 ), [0] 裴永伟, 籍延坤, 吴振声 物理规律的协变性与可变性 沈阳大学学报,2005,(7)4,00-04 [] 李兴毅, 陈建, 赵佩章, 赵文桐 伽利略变换的物理意义 河南师范大学学报 ( 自然科学版 ),2002, (30): 39-4 [2] 李学生, 师教民 对一道中学生物理竞赛试题答案的商榷 物理通报,204(9):9-20 [3] 漆安慎, 杜婵英 普通物理学教程 力学 ( 包景东修订 ) 204 年第三版 :39 [4] 朱如曾 相对性原理及其对自然界定律的协变性要求, 大学物理,2000 年,9(2):5-9 [5] 朱如曾 相对性原理对普遍定律和非普遍定律参考系变换性质的不同要求 --- 关于协变性疑难的进一步讨论 大学物理,2002 年,2(3):9-23 [6] 冯伟 机械能守恒定律与参照系 对力学中一个问题的讨论, 承德民族师专学报, 986(4) [7] 郑永令, 力学 (2004 年 月第 2 次印刷 ), 94 页 [8] 刘敏, 孙皆宜 再论机械能守恒 牡丹江教育学院学报,2005(5):26, 34 External potential of elastic potential does not satisfy invariability of Galileo transformation Abstract: The article offered a qualitative theorem of light spring above all, then analyzed mechanical energy conservation of elastic potential of external potential satisfying mechanical relativity fundamental and possessing independent covariant idiosyncracy as well. Elastic potential does not satisfy Galileo invariability, which clarified argument about the issue. Key words: light spring, qualitative theorem, Galileo invariability, mechanical relativity fundamental, mechanical energy conservation. 5/4/207 46

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