1. (20%) 求以下的極限值 (a) (5%) lim x 1 2x2 + 3x 4 x x 微乙 班期中考解答和評分標準. (b) (5%) lim x 0 x x 2. cos 3x 1 (c) (5%) lim. x 0 x 2 (d) (5%) li

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1 . (0%) 求以下的極限值 (a) (5%) lim x + 3x 4 x x 08 微乙 0-04 班期中考解答和評分標準. (b) (5%) lim x 0 x + 9 x. cos 3x (c) (5%) lim. x 0 x (d) (5%) lim ( + e x x x ). ( 提示 : 已知 lim ( + x x x ) = e.) (a) lim x + 3x 4 x x ( x + 3x 4 x)( x = lim + 3x 4 + x) (x )( x + 3x 4 + x) = lim x + 3x 4 (x )( x + 3x 4 + x) = lim (x + 4) x + 3x 4 + x ( points) ( points) ( points) = 5 ( points). (b) (c) lim x x x = lim x 0 ( x + 9) = 3 ( points). (3 points) cos 3x (cos 3x )(cos 3x + ) lim = lim x 0 x x 0 x (cos 3x + ) sin 3x = lim x x (cos 3x + ) = lim 9 sin 3x x 0 (3x) cos 3x + ( points) ( points) = 9 ( points). (d) lim ( + x e/x)x = lim ( + e/x) (x/e) (e) x = e e ( points). (3 points) Page of 7

2 . (5%) 求以下函數的導函數 (a) (5%) f(x) = sin x cos x. (b) (5%) f(x) = tan ( e x ). (c) (5%) f(x) = (sec x) x, π < x < π. (a) (b) (c) f cos x( cos x) sin x ( sin x) (x) = (4%) ( cos x) cos x = ( cos x) = cos x. (%) f (x) = + ( e x ) e x ex (%; %; %) = e x. (%) f(x) = e ln(sec x)x = e x ln sec x. (%) f (x) = e x ln sec x sec x tan x (ln sec x + x ) (3%) sec x = (sec x) x (ln sec x + x tan x). (%) Page of 7

3 3. (4%) f(x) = x 5 + x 3. (a) (4%) 說明 f(x) 是 對 函數 (b) (5%) 由 (a) 知 f(x) 有反函數 f (x). 求 f ( 3) 和 (f ) ( 3). (c) (5%) 寫下 f (x) 在 x = 3 的線性逼近 用線性逼近估計 f ( 3.0). (a) f (x) = 5x 4 + ( pts, 計算 f (x)) sol : f (x) > 0 f(x) is strictly increasing. Hence f(x) is - ( pts) sol : By Rolle s Theorem, if f(x ) = f(x ) for some x < x, then there is some c (x, x ) such that f (c) = 0. However, f (c) = 5c 4 +. We obtain a contradiction. Thus f(x) must be -. ( pts) (b) ( pt) f(0) = 3 f ( 3) = 0 ( pts, 反函數的微分 ) (f ) ( 3) = f (f ( 3)) ( pts, 帶值, 計算 f (0)) f (f ( 3)) = f (0) =. Hence (f ) ( 3) =. (c) (3 pts, 線性逼近的定義, 帶入 f ( 3), (f ) ( 3).) The linear approximation of f (x) at x = 3 is L(x) = f ( 3) + (f ) ( 3)(x ( 3)) = (x + 3) ( pts) f ( 3.0) L( 3.0) = ( ) = Page 3 of 7

4 4. (9%) 求曲線 ln(x 3y) = x y 在點 (, ) 的切線方程式 Differentiate both sides of the equation ln(x 3y) = x y : x 3 dy dx x 3y = dy dx. (4%) This implies that So we have dy dx = x 3y x x 3y 3. dy dx = 3. (3%) (x,y)=(,) So the equations of the tangent line to the curve at the point (, ) is y = 3 (x ) +. (%) Page 4 of 7

5 5. (6%) 用平均值定理說明 a < a sin (a) sin a (a) <, 其中 0 < a < 4a. Let f(x) = sin x, f (x) = ( pts, 正確使用 the MVT.) x ( pts, sin x 的微分 ) By the Mean Value Theorem, sin (a) sin (a) = f(a) f(a) = f (c)(a a) = ( pts, 由 c (a, a) 推得不等式 ) c (a, a) Hence < < a c 4a a a < sin (a) sin (a) = c a < a 4a a for some c (a, a) c Page 5 of 7

6 6. (%) 有一直圓錐, 底圓半徑為 r, 高為 h, r, h > 0, 找出最大體積之內接直圓柱體 ( 如圖 ). h r (a) 至此 % 令圓柱體底圓半徑為 x, 0 < x < r, 則其高 y 滿足 (b) 至此 5% 圓柱體體積為 x r + y h =, 由此得 y = h( x r ). V (x) = πx y = x π h( x r ) = πh r x (r x) (c) 至此 8% 求候選點 V (x) = πh r (rx 3x ) = 0 x = 3 r, x = 0 ( 不合 ) (d) 至此 % 最大值之說明 評分建議. 由於 x = 3 r 為 0 < x < r 唯一極值, V ( 3 r) = 4 7 πr h > 0, 且 V (0) = V (r) = 0, 故 V ( 3 r) 必為最大值. 其他說明方式 :lim x 0 V (x) = lim x r V (x) = 0 或用一階測試直接看出體積值在 x = 3 r 兩側皆比較小 ˆ (a) 部分的評分要看學生的做法, 重點要得到 (b) 的結果 ˆ 只算出 critical point( 用一階導數 ) 得 8 分 ; ˆ 算出 critical point, 用二階測試得出局部極大, 誤以為是最大者, 得 0 分. ˆ 有意識到必須處理 最 大值問題並有說明者, 才能得滿分. ˆ 是否要算出 V ( 3 r) 要看學生如何論證 用一階測試可不用, 但若用比較候選點與邊界點的想法, 則必須算出 ( 雖 然很明顯 ) ˆ 完全沒想到 0 < x < r 者, 照理會沒有最大值, 可斟酌給分, 最高 8 分 ( 計算部分全算完 ) Page 6 of 7

7 7. (4%) 依以下步驟畫出函數 f(x) = x 的圖形 3x 3 (a) (%) 討論 y = f(x) 的對稱性 (b) (6%) 求 f (x) 找出 f(x) 的遞增遞減區間 (c) (%) 分類 ( 局部 ) 極值點 (d) (6%) 求 f (x) 討論 y = f(x) 的凹性 (e) (%) 求出 y = f(x) 的反曲點 (f) (%) 求 y = f(x) 的漸近線 (g) (4%) 畫出函數圖形 (a) 奇函數, 對原點對稱. ( 兩者有一即可 ) % (b) f (x) = x + x 4 = x x 4 % ; 遞增 : < x < 0, 0 < x < % ; 遞減 : x <, < x %. (c) 極大值 : f() = 3 % ; 極小值 : f( ) = 3 %. (d) f (x) = x 3 4 x 5 = x x 5 % ; 凹向上 : < x < 0, < x % ; 凹向下 : x <, 0 < x < ; %. (e) 反曲點 : (, 5 5 ) %, (, ) %. (f) 水平漸近線 : (g) 作圖 : lim f(x) = 0, 故為 y = 0 % ; 垂直漸近線 : x = 0 %. x ± 評分建議. ˆ 由於學生不能使用計算機, 只要圖的特徵全部正確 ( 符合 (a)-(f) 的分析 ),(g) 即可滿分 ˆ 學生應依照 (a)-(f) 的分析作圖 (a)-(f) 的分析若和 (g) 的圖不合, 則 (g) 不給分 反而, 雖然 (a)-(f) 算錯, 但 (a)-(f) 的分析若和 (g) 的圖一致, 則 (g) 可給 或 分 ˆ 學生明顯手抖誤差可斟酌扣分, 但不必認為是 (a)-(f) 的分析和 (g) 的圖不合 ˆ 因為從 (a) 已知圖形對原點對稱, 若 (g) 的對稱特徵畫得太離譜, 圖應扣分 ˆ 有些學生會把重要資訊 ( 如極值, 反曲點 ) 全部 只 標示在圖上, 應算得分 Page 7 of 7

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