幻灯片 1

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1 能量说明 : E 0, 单电子原子的能量是量子化的. 13.6eV 0 E 1 动, 因此不会落到原子核上. E 为 n 重简并 V 1 r. n 轨道角动量量子数轨道角动量算符 ˆx i E n sin 上节小结说明原子中的电子仍然运 cot cos,

2 ˆy ˆz ˆ i i, ˆ x ˆ cos y ˆ z cot sin, 1 1 sin sin sin 1 1 sin z sin sin ˆ Y, 1Y,. r,, 1ur,,. ˆ u

3 1, 0,1,, n 1. 轨道磁量子数 ˆ z z m m, m m,m m 轨道角动量模型 ˆ z u n,,m 0, 1,,. r,, m u r,,. n,, m 定态下, ˆz 与 ˆ 具有确定值. x与 y 不具有确定值. 可以证明 0. x y

4 z cos m. 1 只能取 1 个取向, 而不是取任意方向 ( 轨道角动量在空间量子化 ). 0,. 跃迁概率原子处于定态时不发射电磁辐射 :

5 e 不随时间改变. 混合态. u e C u C e u u C C u u C C u C u C C C C C t i i * f i * f t i f * i f * i f * f f * f i * i i * i f f i i * f * f * i * i * 混合态的电荷密度以频率, E E n n,t, r, C,t, r, C f f i i, e, r, u,t, r,, e, r, u,t, r, t E i f j t E i i i n n 随时间振荡, 故发射电磁辐射.

6 跃迁率平均寿命 N i 1 if t N 0 e.. i if t 1. 电偶极辐射的选择定则根据 N if c3h 0 p if * 其中 pif e ui ru f dv 称为原子非定态电偶极矩, 可得 0 条件为 p if 1, 0, 1., m

7 本节要点轨道磁矩塞曼效应史特恩 - 盖拉赫实验电子自旋

8 3.4 电子自旋轨道磁矩磁矩

9 磁矩经典表示式一载流线圈有一磁矩, 它可以表示为 isn 0 式中 i是电流大小, S 是电流所围面积, n 0 是垂直于该面积的单位矢量, 流方向, 根据右手螺旋定则确定. 电子轨道磁矩, 方向由电电子绕原子核旋转也必定有一个磁矩,

10 1 即电子轨道磁矩 i r ds, 其中 i 为轨道电流强度, ds 为轨道路径元, 1 r ds是扇形面积元, 于是 dq 1 1 ds r ds r dq dt dt 1 ds 1 r medq r me dt me 1 1 e dq dq m m m e e e p, r dq ds d

11 其中 e和 m e 是电子的电荷和质量, 并且考虑到轨道角动量守恒. 令 e 称为旋磁比, 有. m e 其中负号表示轨道磁矩与轨道角动量方向相反, 这是由于电子运动的方向与电流方向相反. 令 g 1 称为轨道 g 因子, 故轨道磁矩 g e, 1 m 又可以表示为. e

12 轨道磁矩令 e m e e 的大小 g 1. m ev ev T T J e T 称为玻尔磁子, 是原子磁矩的单位. 轨道磁矩又可以表示为 g. 轨道磁矩在 z 轴方向分量为 1

13 z g m g, m g 0, 1,, z, m 最大值为. z 原子轨道磁矩在均匀外磁场中进动磁矩在均匀外磁场 ( 磁感应强度为中不受力, 但是受到一个力矩作用,.

14 力矩的存在将引起角动量的变化, 即利用 d dt 可得 d dt 令, d dt,, 称为拉莫尔进动角速度, 则有.

15 该式表明 : 在均匀外磁场中, 一个高速旋转磁矩并不向方向靠拢, 而是以一定的角速度绕作进动. 的方向与一致. 对的理解 : 取与垂直, 进动平面上的一小块扇面, 离的垂直距离即是扇面半径 sin, 显然 d sind, d d 于是, sin sin, dt d dt 或者, dt.

17 3.4. 塞曼效应 (1896) 现象 : 在外磁场中的光源, 其原子所发射的光谱线分裂成几条支谱线, 而且分裂后的各条谱线是偏振的. 能级分裂设磁场的方向为 z 轴. 具有轨道磁矩的原子在外磁场中的势能为 E m g z

18 上式表明, 对应不同量子数 m 的状态, 原子势能不同. 这样, 一个具有角动量的原子态, 若在没有外磁场时能量为 E, 外磁场时能量为 E E m g 那么在. 因为 m 共有 1个取值, 所以能级 E 在磁场中分裂出 1 个子能级. 共有 1 个子能级.

20 谱线分裂无外磁场时, 原子发射的谱线频率. E E 1 外磁场时,. m E E. m E E 1 1 原子发射的谱线频率为, 发射光子能量为. m m h m m E E E E h 1 1

21 于是, 有磁场时的谱线与原谱线的频率之差为 h m m m, 其中 0, 1, m 率分别为故原谱线分离为 3 条, 频,,. h h 这 3 条谱线的频率差相同, 与成正比, 称为正常塞曼效应.

22 0 1 1

23 分裂谱线的偏振性

25 反常塞曼效 : 原谱线分离不只是 3 条, h.

26 3.4.3 史特恩 - 盖拉赫实验 (191) 装置及现象基态银原子

29 原理运动分析原子轨道磁矩作用, 势能为与不均匀外磁场相互 E. E 平移力 F. 相应的受到一个仅在 z 方向是不均匀的, 即 x 0, 则平移力也在 z 方向, 即 F z d dz d dz x d dz y m g, z z y

30 式中负号表示当 m 为负值时, z 与磁场同方向, 平移力沿着磁场增加方向. 原子束以水平 (x 方向 ) 速度 v 进入磁场区, 而在垂直方向 (z 方向 ) 受力 F z 的作用, 这就好比平抛运动, 原子束在磁场区内将作抛物线运动, 运动方程为 x 1 Fz 1 Fz x vt1,z1 t1 m m v.

31 d 1 Fz d vt1,z1 m v. dz dt 1 Fz m t 1 Fz m x v. 原子束在磁场区外将作直线运动,x 方向 d 运动方程为 D vt. 于是, d D F F z d z d z m v m v v FzdD d dd d dd z cos. mv dz mv dz mv

32 说明由于实验中 z 仅取两个值, 这说明取两个值, 即原子轨道磁矩 ( 也即原子轨道角动量取两个方向, ) 在空间这就证明原子轨道角动量在空间取向是量子化的. 而经典力学的观点认为原子轨道角动量的空间取向是随机分布的, 所以在屏上应该观察到一连续

33 分布的斑痕. 由于 m 取值为 1 个, 因此应该有奇数条斑痕, 而实验却出现偶数条. 197 年, 用基态氢原子 (=0) 作该实验, 同样出现条, 并且通过测量原子束经磁场后的偏离位移得到 Fz d dz mg 1, F z m g d dz,

34 因此, 到此为止, 我们对原子的描述仍是不完全的, 电子还存在固有角动量. 例银原子的史特恩 - 盖拉赫实验, 实验时加热银蒸气的炉温为 130k, 不均匀磁场区的长度 d 为 0.1m, 磁场梯度是 d dz 300T m, 冷凝屏放在磁场末端, 屏上两条斑痕的间隔为 4mm. 求银原子的磁矩.

35 解银原子以水平 (x 方向 ) 速度 v 进入磁 d 场区, 经历不均匀磁场所需的时间为 t. v 在通过磁场后原子沿磁场方向的偏离位移为 s 1 Fz t m 1 Fz m d v. 3kT m 取原子的均方根速率 v,

36 dz d d s6kt, dz d 6kT d 3kT m d dz d m 1 1 s 3 38 z z z 银原子的磁矩约为一个玻尔磁矩. 因此可见,

37 史特恩 - 盖拉赫实验提供了一个测量原子磁矩的方法. 实验表明, 对单价原子即最外层只有一个电子的原子 ( 银原子和氢原子 ), 在磁场中受到的平移力都相同, 这说明所以原子内层电子的角动量和磁矩都相互抵消了, 实验测量的只是最外层电子的效应. 氢原子基态的磁矩为一个玻尔磁子, 这只

38 能是电子本身磁矩的贡献电子自旋实验基础 : 光谱精细结构 : 一条谱线包含两条或几条波长非常接近的谱线. 碱金属 : 钠原子 589.3nm, ~ 1 其双线间隔约为 17cm, 相应的能级分离为

39 ev ~ ev, ~ ev ~ 10 ~ ~ hc 1 hc c h h E ev E, m cm ~

40 氢原子 : 巴耳末系中每个谱线对应的双 1 线间隔约为 0.36cm, ev. 相应的能级分离为 E ev. 分析 : 索末菲根据 E m0c 1 v c ( 电子的能量与速度有关 ), 对玻尔模型的能级公式进行了修正, 很好地解释了氢原子精细结构. 但是,

41 在碱金属原子中, 价电子的运动速度比氢原子中的电子的速度慢, 因此相应的能级修正较小, 谱线的分裂应较小, 这与实验结果不符. 史特恩 - 盖拉赫实验电子自旋 Fz d dz mg 1.

42 假设 (195 年由乌伦贝克和古兹米特提出.) 电子不是点电荷, 它除了轨道角动量以外, 还有自旋运动, 它具有固有的自旋角动量 s 1,m m s s 1,s 1 s s s s s z 说明 :

43 认为任何电子都有相同的自旋角动量, 而且它们在 z 方向的分量只取两个数值, 这对经典物理是无法接受的. 若把电子看做一个带有 -e 的小球, 半径为 cm, 它像陀螺一样绕自身轴旋转, 那么在表面上的切向线速度将大大超过光速! 电子自旋完全不能用经典物理来描述, 是微观粒子的量子属性. 电子自旋是一种

44 相对论效应, 可由狄拉克提出的相对论波动方程自然得出. 自旋磁矩假设 : 基于轨道磁矩表示 g. 与自旋角动量 s 相对应的磁矩表示为 s s g g s s s, s e m e, 3 3, s e me s.

45 式中 g s 称为自旋 g 因子. sz g s s z e. m 相对论波动方程也可以自然得出以上结果. 对史特恩 - 盖拉赫实验的解释基态银原子以及氢原子, 由于 =0, 即轨道角动量不存在, 但是电子存在自旋, 故有

46 Fz d dz Fz d dz m s g s 1. 作业 :p

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幻灯片 1 第二章原子的激发态结构. 单电子 (H) 原子 ( 类 ) 氢原子的薛定谔方程 -e 3D 不含时的定态薛定谔方程其中库仑势 m + ( ) V ( ) V ψ Ze 4πε Eψ + +Ze 电子束缚在原子核的中心力场中只与电子和原子核之间的径向距离有关 Fom www.hpephsics.ph-ast.gsu.edu . 单电子 (H) 原子氢原子的薛定谔方程 Catesian coodinates