依据折纸问题的知识模块设计解题思路的流程初探浙江省衢州市实验学校 (324000) 余献虎摘要 : 学数学就要学解题数学难, 某种意义上讲就是解题难引导学生学会依据不同内容的知识结构构建知识模块, 在多样化的知识模块下形成一定的综合性模块系统, 在解题需要时能自觉联想到相应知识模块设计解题思路

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窕府
4 years ago
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1 依据折纸问题的知识模块设计解题思路的流程初探浙江省衢州市实验学校 (4000) 余献虎摘要 : 学数学就要学解题数学难, 某种意义上讲就是解题难引导学生学会依据不同内容的知识结构构建知识模块, 在多样化的知识模块下形成一定的综合性模块系统, 在解题需要时能自觉联想到相应知识模块设计解题思路, 实现有条理有依据地解题, 是解题教学有效可塑的途径折纸, 因简易方便, 直观又有百般变化, 数学内容丰富, 而备受命题者青睐, 因此以折纸为基础的解题模块系统构建具有代表性, 值得探析和研究关键词 : 模块联想系统分析解题思路设计流程数学难, 其实是解题难有些同学学了多年数学, 可还是不会解题数学上应该不存在适合任何问题的万能解题方法, 但一定有适合特定类型问题的通用解法, 因此, 数学解题教学, 应该教会学生依据问题所包含知识的来龙去脉, 从浅入深逐步积累解题经验, 进而形成多样化的知识系统下的综合性解题经验, 形成一定的知识解题模块系统, 并能自觉形成解题时联想到相应知识模块系统设计解题思路的目标, 实现有条理有依据地解题本文以折纸问题为例, 探析构建模块联想系统设计有序解题这一话题垂线一折纸活动的数学属性分析折纸, 在数学中, 常说成对折折叠翻折, 操作过程呈现如下数学属性 : 全等性 : 折纸前后对应的两部分图形是全等图形平分性 : 折痕是折纸前后两线的夹角的平分线, 是折纸前后对应点连接而成的线段的中对称性 : 折纸前后对应的两部分图形关于折痕所在的直线轴对称二模块构建与解题思路设计枚举折纸, 常用的有三角形纸片四边形纸片圆形纸片等依据纸片形状可细分为如下研究内容 : 三角形纸片例如图, 将三角形纸片沿着折叠压平, 则 ( ) ( ) ( ) ( ) 4 问题内容简约, 解题策略典型依据折纸的全等性角的平分性及问题解决复原原图

2 则构建知识模块, 依据经验联想起三角形内角和定理, 解题思路如下 : () 补全图形, 由对称性得, 90, 90 () 由三角形内角和定理得, ( ) 问题简约但不简单复原图形, 是解答折纸问题典型策略例如图, 在中, =90,=,= 5 把沿着折叠, 使点与重合, 连结, 求 tan 的值图关于直角三角形的折纸形式多, 依据中垂线的平分性可知 =, 由直角联想到勾股定理, 可设计如下解题思路 : () 在 Rt 中, () 由中垂线性质得,= () 在 Rt 中, 依据勾股定理得, (4 ), 解之得 4 (4) 依据正切三角函数得,tan = 简单解题经验的积累是必须的题中折痕若为, 就有角平分线的个性质可选 ; 若 90, 可研究是等腰三角形, 这时倍角三角形出现了 ; 结合例, 可编制新问题 : 如图, 把等边三角形沿着翻折, 使点落在边上, 当知,=+ 时, 求长图由例得, 再依据模块联想系统构建方法, 可有序设计解题思路这些折纸, 问题直率简捷, 解答方法平实典型, 等量代换思想得到体现, 图形复原原则得到落实四边形纸片四边形纸片的折叠活动中, 最常见的是矩形, 其次是正方形纸片和其它四边形纸片矩形纸片例如图 4, 在矩形纸片中,=,=4 将矩形纸片沿折叠, 使点与点重合, 折叠后在其一面着色, 则着色部分的面积为 ( ) 折矩形纸片求线段长, 与折直角三角形一样, 都强调直角的应用, 不同之处是矩形对边平行且相等, 有更丰富的全等性和对称性依据全等等腰及直角间的知识模块结构关系, 可设计如下思路 : () 由对称性得,=; 由平分性得, = G 图 4

3 () 由勾股定理得, 5, 即 (4 ) 4, 解之得 () 在矩形中, 依据得 = =, 即 == 5, (4) 由 G 得,S 着色部分 = S +S =4+ 5 矩形, 或 8-S = 8 与例相比, 例多了等腰三角形, 但两例都回归问题基本属性, 联系知识结构本源, 利用知识模块结构, 寻找数学解题方法由此可见, 解答折矩形纸片问题, 要善用其中的全等等腰及勾股关系, 这是解答此类问题的必杀技例 4 将四边形纸片折叠, 使点落在边上的点 ( 不与点, 重合 ) 处, 压平后得到折痕 MN 探究 : 示 () 如图 5, 若四边形纸片是正方形当 M 时, 求的值 N N 图 5 若, M 则的值等于 ; 若 N 4, M 则的值等于 ; 若 N M ( n 为整数 ), 则的值等于 ( 用含 n 的式子表示 ) n N,, 试用含, n的式子表 n () 若四边形纸片是矩形, 且 M N 的值与之前相比, 重叠部分是四边形, 少了等腰三角形问题设计呈现探究性, 设计意图明显 : 简单入手, 特殊入手说明解答起步思路的归纳与总结是关键, 体现了模块联想的重要性综合 M M 问题特征联想到用参量分别表示 M,N, 思路如下 : () 如图 5- 所示, 设 ==a N 图 5- 依据对称性可知, 连接 M,M, 则 M=M,N=N 根据勾股定理, 得 : N ( N) N N M M ( M ) ( ) M M 依据特殊情形找方法 : 当时, N ( a N) a, 解之得 N= 5 4 a 4 a M ( a M ) a, 解之得 M= 4 a M 综上可知, N 5 同理可求, 当, 4 时, M N = 5 ( 4 0 ), 9 7

4 依据数字变化规律, 归纳特征得, 当 ( n 为整数 ), M n N = n n 总结反思, 优化思路设 =, 当 ( n 为整数 ) 时,==n 由勾股定理得, N ( n N), n 解方程得,N= n ; n M ( n M ) ( n ), 解方程得,M= M N = n n () 推敲模块结构, 类比拓广解法在矩形中, 设 =, 则 ==n,=n ( n ) 由勾股定理得, ( n N) N, n M ( n M ) ( n ) 所以, n 解方程得, N, M n n n n,, 则 n 所以, 在矩形中, 若 M N = n n n 由此可见, 折纸问题的关键是联想到相应的全等性对称性和直角三角形的勾股定理当我们把无序混乱和隐形的解答模型变为有序条理清晰和显性的时候, 通法的目标就自然而然实现, 具体问题只需代入求值类似地, 继续研究如下变式 : 变式一已知, 在矩形纸片中, 6, 85, 点在上, 且 6, 点 P 是边上一动点按如下步骤操作 :() 折叠纸片, 使点 P 与点重合, 展开纸片得折痕 MN ;() 过 P 作 PT, 交直线 MN 于点 Q 现将纸片放入平面直角坐标系 xoy 中, 如图 6 所示, 试判定点 P 从向的运动过程中, 所有这些点 Q 形成的图象形状, 并求出该图象的函数表达式运动过程中, 所有点 Q 形成的图象取决于这些点 Q 在坐标系中的横纵坐标满足的函数关系式设 P=x,PQ=y 思路一归纳 y M T Q G () N P 图 6 x 当 x=0 时, 折痕 MN 的函数表达式是 y=, 即 y=, 即 Q(0,) 当 x=6 时, 折痕 MN 的函数表达式是 y=x, 即 y=6, 即 Q(6,6) 当 x= 时, 依据折叠的对称性可知, PG P 5 依据相似三角形的判定定理可知, PQ P PGQ P, 即 5, 求之得 PQ 5, 即 Q(,5) PG

5 通过描点观察可知, 这样的点 Q 形成的图象大致是二次函数图象, 依据上述点的坐标用待定系数法可求得函数表达式为 y x (0 x 6) 检验 : 当 x=8 时, 依据上述方法求得 Q(8,7), 符合题意所以, 所有这些点 Q 形成的图象是二次函数, 表达式是 y x (0 x 6) 思路二演绎 () 由勾股定理得, P 6 x () 由对称性可知, PG P 6 x PQ P P PG P () 由相似性可知, 即 PQ PG (4) 代入得, y x, 其中 0 x 6, 即所有点 Q 形成的图象是二次函数变式二如图 7, 将矩形的四个角向内折起, 恰好拼成既无缝隙又无重叠的四边形 GH() 求证 : 四边形 GH 是矩形 () 若 H=,=4, 求边的长折叠次数的增加, 使问题面上的形式变得复杂, 条件与结论的关系变得模糊, 但模块结构不会有大变动依据题设与结论的关系, 解题思路如下 : () 由平分性可知, H HJ, J H J K G () 由平角的性质可知, H 90 同理可证, G GH 90, 即四边形 GH 是矩形图 6 7 () 由上可知, H H 5 (4) 由上可证 HKG J, 即 HK=J (5) 由全等性可知,H=HJ,HK=H (6) 等量代换, 得 =H+H=H+HK=HJ+J=H=5 当然, 若能依据知识模块联想到 H 的中点是整个图形的对称中心, 则 JK==H, 解答更为简洁正方形纸片例 6 如图 8, 已知正方形纸片,M,N 分别是, 的 M P Q 中点, 把边向上翻折, 使点恰好落在 MN 上的 P 点处,Q 为折 N 痕, 则 PQ= 度图 8 问题解决的难, 多不是性质直白的对照, 多在于云深不知处的含蓄和混沌的条件与结论的带来的无所适从的思维的混乱和思绪的迷茫不联通, 是数学解题难的罪魁祸首要

6 突破不联通, 就得在模块基础上, 建设好知识联想系统本解题思路是 : () 由对称性可知, N N () 由全等性可知,P= () 在 Rt PN 中, N P, 所以 PN=0, 即 PN=60 (4) 由平分性可知, PQ= 0 PN 本设计的优点是联通了 N P 这一点, 这是解决该问题的金钥匙例 7 如图 9-, 在直角坐标系 xoy 中, 直线 l: y kx b 交 x 轴,y 轴于点, 点的坐标是 (,), 过点分别作 x 轴,y 轴的垂线, 垂足为, 点是线段上的动点, 以为对称轴, 作与成轴对称的 ˊ () 当 =5 时, 求点 ˊ 的坐标 ; k () 当图 9- 中的直线 l 经过点, 且动过程中, 线段扫过的图形与重叠部分的面积 ; 时 ( 如图 9-), 求在点由到的运 () 当图 9- 中的直线 l 经过点,ˊ 时 ( 如图 9-), 以为对称轴, 作与成轴对称的 ˊ, 连结 ˊ,ˊ 问 : 是否存在这样的点, 使得 ˊ 与 ˊ 相似? 若存在, 求出 k,b 的值 ; 若不存在, 请说明理由 y y y l l l () 图 x () x 图图 9- 图 9- 图 9- 图 x 折纸, 数学化后就是轴对称变换同样地, 以轴对称变换呈现出的数学问题可以等价地理解为折纸问题本题变化较多, 要以静制动, 还要清晰地分辨出其解题模块结构 : () 由全等性可知,, 5 () 由 () 可知 0, 联想到通过构造含 0 角的 Rt 求点 ˊ 的坐标通过添加辅助线可求得点 ˊ 的坐标是 (-,) () 由对称性可知, 点到定点的距离恒等于, 所以, 点总在以为圆心, 为半径的圆弧上, 即线段扫过的图形是扇形

y (4) 当直线 l 为 x 线段扫过的与重叠部分的图形是弓形 (5) 由 () 可知三角形恰是等边三角形, 这时中点时, =0,, 即 =60, 逆向分析 : 第一次落在直线 l 上的点与, 围成的 60, 弓形所在的圆的半径为 60 由此可知, 重叠部分的面积是 60 4 (6) 由全等性可知 90 ; 由轴对称性可知, 垂足是的 (7) 若 ˊ 与 ˊ 相似, 只有 90,

7 y (4) 当直线 l 为 x 线段扫过的与重叠部分的图形是弓形 (5) 由 () 可知三角形恰是等边三角形, 这时中点时, =0,, 即 =60, 逆向分析 : 第一次落在直线 l 上的点与, 围成的 60, 弓形所在的圆的半径为 60 由此可知, 重叠部分的面积是 60 4 (6) 由全等性可知 90 ; 由轴对称性可知, 垂足是的 (7) 若 ˊ 与 ˊ 相似, 只有 90, 即 (8) 由 (6) (7) 可知, ˊ 由平行线等分线段定理得 == =, 即 b= (9) 由 (4) 可知由 90 联想到 Rt Rt, 且 =+=+- 在 Rt 中, 根据勾股定理得 4 所以 (0,), (,0), k 利用代入消元法求得 4 4 ( ), 解之得 =, 综观全题, 在显性的折纸活动之下隐形而又灵动的相关数学知识的联想和挖掘是问题解答的关键, 由一般结论延伸而出的模块对应知识的综合运用才能克制千变万化的问题, 由知识的改变联想到方法的万化, 数学学习的觉悟要在其中! 其它四边形纸片四边形还有平行四边形菱形梯形等, 不能面面俱到, 关键是数学思想和数学方法的统一, 不能拘泥例 8 如图 0, 在菱形纸片中, =60, 将纸片折叠, 点分别落在点处, 且经过点, 为折痕, 当时, 则 : 的值为 ( ) 图 0 在这个折叠过程中, 背景相对复杂, 边的条件被弱化, 角的作用得到加强, 说明利用角进行转化和联通是问题解决的核心解题思路如下 : () 由题设可知, = =60, =0,== () 由全等性可知,=,=,=, =60, =0 () 当时,, = G= G= G=0 (4) 参量思想 : 设 =a,=b, 则 = =a+b,g=b a

8 b (5) 解三角形 : 在 G 中,G= G, 即 ( b a) b a, 化简得, a 选, 问题解决优化策略是设而不求, 连续等量代换是顺利解答的关键当然, 从知识模块建构看, 学生要能在操作活动中自主探究图形性质, 并利用探究所得的性质解决问题一旦理清解答模块思绪, 问题纵有万般变化, 解答都犹如探囊取物圆形纸片例 9 如图, 把一张圆形纸片沿弦翻折, 恰好经过圆心, 点是上一点, 连结并延长交 P 于点 P, 连结, () 求证 : P 为正三角形 P () 若 =,=, 求的度数及 P 的长图折纸, 使原本完整图形有了缺失这一缺失使得解答折纸问题有了困难, 而补回图形可以弥补这种缺失如图 -, 结合知识模块, 有如下思路 : () 补回图形, 则,, 在 Rt 中, =0 () 由圆心角定理可知, 0, P 40, 由圆周角定理及结论以可知, P 60, P 0 P 图 - 综上可知, P 60, 即 P 为正三角形 () 由题设可知, 联想到 90, 由圆周角定理可知, =45, 根据三角形的内角和定理可知 =5 (4) 由 0 联想到由 () 可知 P 为正三角形, 则 =P (5) 在中, 已知,=, =45, 0, 解这个三角形得,P== 6 生活中, 我们常说退一步海阔天空还原图形, 就是数学解题过程中的退一步在数学解题中, 融合模块结构并有序思考问题的退一步思想往往在遇到难题时能起到力挽狂澜的作用三编外小语数学折纸, 名目繁多, 很多基于压轴意识的问题则重在考查学生的数学学习能力和综合数学素养例 0 如图, 在矩形中, 点在上, 点是的中点, =90 把

9 沿着翻折, 点落在点 ˊ 处, 连结 ˊ,ˊ, 若 =,=n, 点 ˊ 到的距离为 0 5, 求 n 的值本题由 06 年丽水卷 4 题 () 问改编作为压轴题的压轴一问, 其关系不仅仅只滞留在折纸上, 更主要的是突出其间几何图形性质的综合应用, 其基于知识模块的解答思路如下 : () 由直角三角形的性质可知,==, = () 由 = =90, = 可知, 则 n () 设把沿着翻折后,ˊ 与交于点 Q, 作 ˊP 于 P, 则四边形 PQˊ 图 P Q 是矩形,ˊP=Q= 0 5 (4) 在中, 由 ( Q ) Q 得 0 5 n, 即, 所以 n=4 纵观解答, 不拘泥于活动的全等性平分性和对称性, 看到了相似的判定和性质, 矩形的判定和性质, 由此可见, 数学问题的解决, 重在活学活用, 善联想, 巧识性折纸, 作为初中教学课堂中最常用简捷的数学活动, 活力四射由折纸活动演化而来的数学问题, 举不胜举, 当这些问题的解答往往要经历简单到复杂浅显到深刻直观到抽象生活到数学的过程这个过程中, 也会演绎出形形式式的新问题新方法新思考概括为一句, 就是 : 问题会千变, 模块构建来相伴, 方法要万化, 设计思路程序化只要学习的觉悟在其中, 学习的乐趣也就在其中了参考文献 : 范良火, 许凤英, 岑申, 张宝珍义务教育教科书八年级下册数学 [M] 杭州 : 浙江教育出版社,04 余献虎, 汪立爱从两个阶段到两种结果的变化 [J] 中学数学教育 ( 初中版 ),006 年第期余献虎动中求静, 以静制动 [J] 中小学数学 ( 学生版 ),007 年第 0 期 4 阮夏丽, 李建芳, 叶春怡, 陈永明中巧说的理论意义和实用价值 [J] 现代教育,04 第期

已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD

已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD 1. 已知 :=4,=2, 是中点, 是整数, 求 = = ==2 在中 -