Since 1990 s Hawgent 皓骏动态数学课程系列 点的存在性综合问题 ( 上册 ) 深入学科, 彻底突破数学教学和数学学习中的重点难点问题 开展数学实验 数学教学 数学学习和数学研究的必备工具 皓骏 ( 广州 ) 数学技术中心 Hawgent Technology Centre in

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1 Since 1990 s Hawgent 皓骏动态数学课程系列 点的存在性综合问题 ( 上册 ) 深入学科, 彻底突破数学教学和数学学习中的重点难点问题 开展数学实验 数学教学 数学学习和数学研究的必备工具 皓骏 ( 广州 ) 数学技术中心 Hawgent Technology Centre in Mathematics

2 内容介绍在学习数学过程中, 有许多问题在查看了详细的解答或听到了老师的讲解之后, 很多学生仍然不得其解, 即使他们在下一次遇到同一个问题也未必能够给出正确或完整的解答. 这是因为, 在学习过程中, 数学更加需要理解. 本课程收集并整理了一些综合性很高的数学问题, 它们让老师感到难教, 让学生感到难学 就是说, 对于这类问题许多数学老师都反应他们在花费了很大力气 很多时间的讲解之后, 很多学生仍然是似懂非懂. 同样是学习, 但方法有优劣之分, 效率有高低之分. 把看似复杂 抽象的问题变得更容易一些, 抓住数学的本质使学生多一些理性思考而少一些机械记忆, 让学生感悟到自然朴实的数学思想方法从而能够举一反三, 这是我们追求的理念. Hawgent 皓骏团队利用动态数学技术将这类问题呈现在学生面前, 为他们提供了一个动手 观察 探索 猜想和验证的机会与平台, 帮助他们利用变化的图形和数据发现问题内在的关系, 并逐渐形成真正属于他们自己的解决问题的思路, 这是我们追求的目标. 如果这种方式能够得到大家的认同, 对我们是一种鼓励, 并将激发我们更加努力工作的热情, 同时希望有更多志同道合者加入我们的队伍, 将这项工作持续下去, 越做越好. 当然也欢迎各种不同的声音, 甚至是批评的意见, 从而帮助我们得到提高和成长. 欢迎联系

3 目 录 第一部分因动点产生的相似三角形问题... 5 例 1(008 年杭州市中考第 4 题 )... 5 例 (008 年济南市中考第 4 题 )... 6 例 3(008 年绍兴市中考第 4 题 )... 8 例 4(009 年临沂市中考第 6 题 ) 例 5(010 年义乌市中考第 4 题 )... 1 例 6(01 年宁波市中考第 6 题 ) 例 7(01 年天津市中考第 5 题 ) 例 8(01 年湖州市中考第 4 题 )... 0 例 9(01 年苏州市中考第 9 题 )... 例 10(01 年黄冈市中考第 5 题 )... 4 例 11(01 年福州市中考第 题 )...6 例 1(013 年上海市中考第 4 题 )... 8 例 13(013 年济南市中考第 4 题 ) 例 14(013 年徐州市中考第 8 题 )... 3 例 15(013 年陕西省中考第 4 题 ) 例 16(013 年乌鲁木齐市中考第 4 题 ) 例 17(014 年武汉市中考第 4 题 ) 例 18(014 年菏泽市中考第 1 题 ) 例 19(015 年盐城市中考第 8 题 ) 例 0(016 年湖州市中考第 3 题 ) 第二部分因动点产生的等腰三角形问题 例 1(008 年温州市中考第 4 题 ) 例 (008 年重庆市中考第 8 题 ) 例 3(009 年上海市中考第 4 题 ) 例 4(009 年黄冈市中考第 0 题 )... 5 例 5(009 年深圳市中考第 3 题 ) 例 6(009 年重庆市中考第 6 题 ) 例 7(010 年南通市中考第 7 题 ) 例 8(010 年台州市中考第 4 题 ) 例 9(011 年湖州市中考第 4 题 )...63 例 10(011 年盐城市中考第 8 题 )...65 例 11(01 年扬州市中考第 7 题 )...67 例 1(01 年临沂市中考第 6 题 ) 例 13(014 年长沙市中考第 6 题 ) 例 14(014 年金华市中考第 4 题 ) 例 15(014 年上海市中考第 5 题 ) 例 16(015 年重庆市中考第 5 题 ) 例 17(016 年河南省中考第 3 题 ) 例 18(016 年山西省中考第 3 题 ) 第三部分因动点产生的直角三角形问题 例 1(008 年河南省中考第 3 题 )... 85

4 例 (008 年天津市中考第 5 题 ) 例 3(009 年嘉兴市中考第 4 题 ) 例 4(010 年北京市中考第 4 题 ) 例 5(011 年沈阳市中考第 5 题 )...95 例 6(011 年温州市中考第 4 题 )...97 例 7(011 年浙江省中考第 3 题 )...99 例 8(01 年广州市中考第 4 题 ) 例 9(01 年杭州市中考第 题 ) 例 11(013 年兰州市中考第 8 题 ) 例 1(013 年山西省中考第 6 题 ) 例 13(014 年德州市中考第 4 题 ) 例 14(014 年苏州市中考第 9 题 )...11 例 15(014 年重庆市中考第 5 题 ) 例 16(016 年义乌市绍兴市中考第 4 题 ) 第四部分因动点产生的平行四边形问题 例 1(008 年黄冈市中考第 0 题 ) 例 (008 年金华市中考第 3 题 )... 1 例 3(008 年青岛市中考第 4 题 ) 例 4(008 年太原市中考第 9 题 ) 例 5(008 年乌鲁木齐市中考第 3 题 ) 例 7(009 年福州市中考第 1 题 ) 例 8(009 年江西省中考第 4 题 ) 例 9(009 年莆田市中考第 5 题 ) 例 10(010 年河南省中考第 3 题 ) 例 11(010 年山西省中考第 6 题 ) 例 1(011 年成都市中考第 8 题 )...14 例 13(011 年江西省中考第 4 题 ) 例 14(011 年上海市中考第 4 题 ) 例 15(011 年无锡市中考第 7 题 ) 例 16(01 年福州市中考第 1 题 ) 例 17(01 年烟台市中考第 6 题 ) 例 18(013 年温州市中考第 4 题 ) 例 19(014 年陕西省中考第 4 题 ) 例 0(014 年山西省中考第 4 题 ) 例 1(014 年河南省中考第 3 题 ) 例 5(015 年成都市中考第 8 题 ) 例 6(015 年黄冈市中考第 4 题 ) 例 7(015 年重庆市中考第 6 题 ) 例 8(015 年温州市中考第 4 题 ) 例 9(016 年泰安市中考第 8 题 )

5 第一部分 因动点产生的相似三角形问题 例 1(008 年杭州市中考第 4 题 ) 如图 1, 在直角坐标系 xoy 中, 设点 A (0,t), 点 Q(t,b). 平移二次函数 y=-t*x^ 的图像, 得到的抛物线 F 满足两 个条件 :1 顶点为 Q, 与 x 轴相交于 B C 两点 ( OB < OC ), 连结 AB. (1) 是否存在这样的抛物线 F, 使得 OA ^= OB * OC? 请你作出判断, 并 说明理由 ; 式. () 如果 AQ//BC, 且 tan ABO=3/, 求抛物线 F 对应的二次函数的解析 解答 (1) 因为平移 为 y = -t(x - t) + b y = -tx 的图像得到的抛物线 F 的顶点为 Q(t,b), 所以 F 的关系式 因为抛物线与 x 轴有两个交点, 因此 t*b>0. 另 y=0, 得 OB=t-(b/t)^(1/),OC=t+(b/t)^(1/). 所以 OB OC = 即 b t - t b t - t =t^= OA ^ =±t^. 所以 b=*t^ 时, 存在抛物线 F 使得 OA ^= OB OC () AQ BC, 所以 t=b, 于是抛物线 F 为 y=-t(x-t)^+t 解得 x_1=t-1,x_=t+1. 1 当 t>0 时, 由 OB < OC, 得 B(t-1,0) 如图, 当 t-1>0 时, 由 tan ABO=3/= OA / OB =t/(t-1), 解得 t=3 此时二次函数的解析式为 y 3x 18x 4 如图 3, 当 t-1<0 时, 由 tan ABO=3/= OA / OB =t/(-t+1), 解得 t=3/ 此时二次函数的解析式为 y x x

6 例 (008 年济南市中考第 4 题 ) 已知 : 抛物线 y=ax^+bx+c(a 0), 顶点 C(1,-3), 与 x 轴交于 A B 两点,A(-1,0). (1) 求抛物线的解析式 () 如图 1, 以 AB 为直径作圆, 与抛物线交与点 D, 与抛物线对称轴交于点 E, 依次连结 A D B E, 点 P 为线段 AB 上一个动点 (P 与 A B 两点不重合 ), 过点 P 作 PM AE 于 M,PN DB 于 N, 请判断 PM/BE+PN/AD 是否为定值? 若是, 请求出此定值 ; 若不是, 请说明理由. (3) 在 () 的条件下, 若点 S 是线段 EP 上一点, 过点 S 作 FG EP,FG 分别与边 AE BE 相交于点 F G(F 与 A E 不重合,G 与 E B 不重合 ), 请判断 PA/PB=EF/EG 是否成立, 若成立, 请给出证明 ; 若不成立, 请说明理由. 解答 (1) 设抛物线的解析式为 y=a(x-1) -3 将 A(-1,0) 代入 :0= a(-1-1) -3, 解得 a= 4 3 所以, 抛物线的解析式为 y= 4 3 (x-1) -3, 即 y= 4 3 x - 3 x- 4 9 PM PN () 是定值, =1 BE AD AB 为直径, AEB=90, PM AE, PM BE, APM ABE, 所以 PM AP 1 BE AB PN PB 同理 : AD AB PM PN AP PB 1+: 1 BE AD AB AB (3) 直线 EC 为抛物线对称轴, EC 垂直平分 AB, EA=EB, AEB=90, AEB 为等腰直角三角形, EAB= EBA=45 如图, 过点 P 作 PH BE 与 H, 6

7 由已知及作法可知, 四边形 PHEM 是矩形. PH=ME 且 PH ME. 在 APM 和 PBH 中, AMP= PBH=90, EAB= BPH=45, PH=BH, 且 APM PBH, PA PM PA PM PM, 1 PB BH PB PH ME 在 MEP 和 EGF 中, PE FG, FGE+ SEG=90, MEP+ SEG=90, FGE= MEP, MPE= FEG=90, MEP EGF, PM EF ME EG PA EF 由 1 知 : PB EG 7

8 例 3(008 年绍兴市中考第 4 题 ) 将一矩形纸片 OABC 放在平面直角坐标系中,O(0,0),A(6,0),C(0,3). 动点 Q 从点 O 出发以每秒 1 个单位长的速度沿 OC 向终点 C 运动, 运动 /3 秒时, 动点 P 从点 A 出发以相等的速度沿 AO 向终点 O 运动. 当其中一点到达终点时, 另一点也停止运动, 设点 P 的运动时间为 t( 秒 ) (1) 用含 t 的代数式表示 OP OQ; () 当 t=1 时, 如图 1, 将 OPQ 沿 PQ 翻折, 点 O 恰好落在 CB 边上的点 D 处, 求点 D 的坐标 ; (3) 连结 AC, 将 OPQ 沿 PQ 翻折, 得到 EPQ, 如图, 问 PQ 与 AC 能否平行?PE 与 AC 能否垂直? 若能, 求出相应的 t 值 ; 若不能, 说明理由. 解答 (1) OP 6 t, OQ t. 3 y D B C C y B C y B Q Q Q E D 1 O P A x 图 1 O P A x 图 O P F A x 图 3 () 当 t 1时, 过 D 点作 DD1 OA, 交 OA 于 D 1, 如图 1, 5 4 则 DQ QO, QC, 3 3 CD 1, D(1, 3). (3)1 PQ 能与 AC 平行. OP OA 若 PQ AC, 如图, 则, OQ OC 8

9 6 t 即, t, 而 0 t, t t. 9 PE 不能与 AC 垂直. 若 PE AC, 延长 QE 交 OA 于 F, 如图 3, QF 则 AC t OQ QF 3. OC QF 5 t 3. EF QF QE QF OQ 5 t t 3 3 ( 5 1) t ( 5 1). 3 PE OC 又 Rt EPF Rt OCA, EF OA, 6 t 3, 6 ( 5 1) t 3 7 t 3.45, 而 0 t, 3 t 不存在. 9

10 例 4(009 年临沂市中考第 6 题 ) 如图 1, 抛物线经过点 A(4,0) B(1,0) C(0,-) 三点. (1) 求此抛物线的解析式 ; ()P 时抛物线上的一个动点, 过 P 作 PM x 轴, 垂足为 M, 是否存在点 P, 使得以 A P M 为顶点的三角形与 OAC 相似? 若存在, 请求出符合条件的点 P 的坐标 ; 若不存在, 请说明理由 ; (3) 值直线 AC 上方的抛物线是有一点 D, 使得 DCA 的面积最大, 求出点 D 的坐标. 解答 (1) 该抛物线过点 C(0, ), 可设该抛物线的解析式为 y ax bx. 将 A (4, 0), B (1, 0) 代入, 1 a, 16a 4b 0, 得 解得 a b 0. 5 b. 1 5 此抛物线的解析式为 y x x. () 存在. 如图, 设 P 点的横坐标为 m, 1 5 则 P 点的纵坐标为 m m, 当 1 m 4 时, 1 5 AM 4 m, PM m m. 又 COA PMA 90, AM 1 当 PM AO 时, OC 1 APM ACO, y D P B A O 1 M 4 E C ( 第 6 题图 ) x 10

11 1 5 即 4 m m m. 解得 m1 m AM 当 PM, 4 ( 舍去 ), P(, 1). OC 时, APM CAO, 即 (4 m) m m. OA 解得 m1 4, m 5 ( 均不合题意, 舍去 ) 当 1 m 4 时, P (, 1). 类似地可求出当 m 4 时, P(5, ). 当 m 1时, P( 3, 14). 综上所述, 符合条件的点 P 为 (, 1) 或 (5, ) 或 ( 3, 14). 1 5 (3) 如图, 设 D 点的横坐标为 t(0 t 4), 则 D 点的纵坐标为 t t. 过 D 作 y 轴的平行线交 AC 于 E. 1 由题意可求得直线 AC 的解析式为 y x. E 1 点的坐标为 t t, DE t t t t t. 1 1 S DAC t t 4 t 4 t ( t ) 4. 当 t 时, DAC 面积最大. D(, 1). 11

12 例 5(010 年义乌市中考第 4 题 ) 如图 1, 已知梯形 OABC, 抛物线分别过点 O(0,0) A(,0) B(6,3). (1) 直接写出抛物线的对称轴 解析式及顶点 M 的坐标 ; () 将图 1 中梯形 OABX 的上下底边所在的直线 OA CB 以相同的速度同时向上平移, 分别交抛物线于点 O1 A1 C1 B1, 得到如图 的梯形 O1A1B1C1 的面积为 S,A1 B1 的坐标分别为 (x1,y1) (x,y). 用含 S 的代数式表示 x-x1, 并求出当 S=36 时点 A1 的坐标 ; (3) 在图 1 中, 设点 D 的坐标为 (1,3), 动点 P 从点 B 出发, 以每秒 1 个单位长度的速度沿着线段 BC 运动, 动点 Q 从点 D 出发, 以与点 P 相同的速度沿着线段 DM 运动.P Q 两点同时出发, 当点 Q 到达点 M 时,P Q 两点同时停止运动. 设 P Q 两点的运动时间为 t, 是否存在某一时刻 t, 使得直线 PQ 直线 AB x 轴围成的三角形与直线 PQ 直线 AB 抛物线的对称轴围成的三角形相似? 若存在, 请求出 t 的值 ; 若不存在, 请说明理由. 解答 (1) 对称轴 : 直线 x 解析式 : y x x 或 y ( x 1) 顶点坐标 :M(1, 1 ) 8 () 由题意得 y y y y1 x x x1 x 得 : ( x x )[ ( x x 1 ) ] ( x1 1 x 1) s 3( x1 x ) 6 1

13 s 得 : x 1 x 3 7 把 代入 1 并整理得 : x x 1 (S>0) ( 事实上, 更确切为 s S>6 6 ) x x 14 当 s 36 时, 1 x x1 x 6 解得 : 1 x 8 把 x1 6 代入抛物线解析式得 y1 3 点 A1(6,3) (3) 存在 3 3 解法一 : 易知直线 AB 的解析式为 y x, 可得直线 AB 与 4 对称轴的 3 交点 E 的坐标为 1, 4 BD=5,DE= 15 4,DP=5-t,DQ= t 当 PQ AB 时, DQ DP F D P C B DE DB Q t 5 t 15 得 t G O M A E 4 图 1-1 下面分两种情况讨论 : 设直线 PQ 与直线 AB x 轴的交点分别 y x 为点 F G 1 当 0 FGA= FEQ 15 t 时, 如图 1-1 FQE FAG 7 DQ DP DPQ= DEB 易得 DPQ DEB DB DE t 5 t 0 15 得 t t 0 ( 舍去 ) 当 7 1 t 时, 如图 1-8 y FQE FAG FAG= FQE DQP= FQE FAG= EBD 13 C D P G Q O M A E B x F 图 1-

14 DQP= DBE 易得 DPQ DEB DQ DP DB DE t 5 t, t 当 t 0 7 秒时, 使直线 PQ 直线 AB x 轴围成的三角形 与直线 PQ 直线 AB 抛物线的对称轴围成的三角形相似 15 ( 注 : 未求出 t 能得到正确答案不扣分 ) 7 x x x 1 解法二 : 可将 y 向左平移一个单位得到 y, 再用解法一类似的方法可求得 7 x x 1, 1 S A (5,3) 0, t 7 7 x x 1 1 S A (6,3), 0 t. 7 14

15 例 6(01 年宁波市中考第 6 题 ) 如图 1, 二次函数 y=a*x^+b*x+c 的图象交 x 轴于 A(-1,0),B(,0), 交 y 轴于 C(0,-), 过 A C 画直线. (1) 求二次函数的解析式 ; () 点 P 在 x 轴正半轴上, 且 PA = PC, 求 OP 的长 ; (3) 点 M 在二次函数图象上, 以 M 为圆心的圆与直线 AC 相切, 切点为 H. 1 若 M 在 y 轴右侧, 且 CHM AOC( 点 C 与点 A 对应 ), 求点 M 的坐标 ; 若 M 的半径为 4/5*5^(1/), 求点 M 的坐标. 解答 解 :(1) 二次函数 y ax 设该二次函数的解析式为 : y a( x 1)( x ) 又二次函数 y ax bx c bx c 的图像交 x 轴于 A( 1,0), B(,0) 的图像交 y 轴于 C(0, ) 将 x 0, y 代入, 得 a(0 1)(0 ) 解得, a 1 抛物线的解析式为 y ( x 1)( x ), 即 () 设 OP x, 则 PC PA x 1 在 Rt POC 中, OP x, PC x 1, OC 由勾股定理, 得 x ( x 1) 3 3 解得, x, 即 OP (3)1 CHM MCH CAO AOC, 点 C 与点 A 对应 15 y x x

16 情形 1: 如图, 当 H 在点 C 下方时 MCH CAO CM / / x 轴, y M 点 M 在二次函数图像上 x x 解得 x 0 ( 舍去 ) 或 x 1, M (1, ) 情形 : 如图, 当 H 在点 C 上方时 M ' CH CAO 由 () 得, M ' 为直线 CP 与抛物线的另一交点 设直线 CM ' 的解析式为 y kx 3 3 把 P (,0) 的坐标代入, 得 0 k 4 4 解得, k, y x 由 3 x x x, 7 解得, x 0 ( 舍去 ) 或 x 此时 y, M '(, ) 点 M 的坐标为 (1, ) 或 7 10 (, ) 3 9 解析 以 M 为圆心的圆与直线 AC 相切, 则点 M 到直线 AC 的距离即为圆半径 因为 M 同时也在抛物线上, 因此利用平行线间距离处处相等的性质, 先在 x 轴 4 上找到与直线 AC 距离为 5 5 的点 D, 过点 D 作与直线 AC 平行的直线, 根据平行 直线的解析式中 k 相等的性质确定直线解析式, 再联立直线与抛物线解析式求得 M 坐 标 4 在 x 轴上取一点 D, 过点 D 作 DE AC 于点 E, 使 DE 5 5 COA DEA 90, OAC EAD AD DE AED AOC, AC OC 16

17 4 5 AD 5, 解得 AD 5 D (1, 0) 或 D( 3,0) 过点 C 作 DM AC, 交抛物线于点 M, 设直线 AC 的解析式为 y=kx-, 将 A(-1,0) 代入可得,-k-=0, 解得 k=-, 设直线 DM 解析式为 y=-*x+b, 将 D(1,0) 或 D(-3,0) 代入可得 : -+b=0 或 6+b, 解得 b= 或 b=-6, 则直线 DM 的解析式为 y=-x+ 或 y=-x-6; 当 -x-6=x -x- 时,x +x+4=0, =1-16=-15<0, 方程无实数解 ; 当 -x+=x -x- 时,x +x-4=0, 解得 x1=(-1-17^(1/))/,x=(-1+17^(1/))/, 点 M 的坐标为 ((-1-17^(1/))/,3+17^(1/)) 或 ((-1+17^(1/))/,3-17^(1/)) 17

18 例 7(01 年天津市中考第 5 题 ) 已知一个矩形纸片 OACB, 将该纸片放置在平面直角坐标系中, 点 A(11,0), 点 B(0,6), 点 P 为 BC 边上的动点 ( 点 P 不与点 B C 重合 ), 经过点 O P 折叠该纸片, 得点 B 和折痕 OP. 设 BP=t. (1) 如图 1, 当 BOP=30 时, 求点 P 的坐标 ; () 如图, 经过点 P 再次折叠纸片, 使点 C 落在直线 PB 上, 得点 C 和折痕 PQ, 若 AQ=m, 试用含有 t 的式子表示 m; (3) 在 () 的条件下, 当点 C 恰好落在边 OA 上时, 求点 P 的坐标 ( 直接写出结果即可 ). 解答 (Ⅰ) 根据题意, OBP=90,OB=6 在 Rt OBP 中, 由 BOP=30,BP=t, 得 OP=t OP =OB +BP, 即 (t) =6 +t, 解得 :t1=*3^(1/),t=-*3^(1/) ( 舍去 ). 点 P 的坐标为 (*3^(1/),6) (Ⅱ) OB P QC P 分别是由 OBP QCP 折叠得到的, OB P OBP, QC P QCP OPB = OPB, QPC = QPC OPB + OPB+ QPC + QPC=180, OPB+ QPC=90 BOP+ OPB=90, BOP= CPQ OB BP 又 OBP= C=90, OBP PCQ PC CQ 由题意设 BP=t,AQ=m,BC=11,AC=6, 则 PC=11-t,CQ=6-m. 6 t 1 11 m t t 6 (0<t<11) 11- t 6 - m

19 11 13,6) 或 ( 3,6) 过点 P 作 PE OA 于 E, PEA= QAC =90 PC E+ EPC =90 PC E+ QC A=90, EPC = QC A ' PE PC PC E C QA ' ' AC C Q PC =PC=11-t,PE=OB=6,AQ=m,C Q=CQ=6-m, ' ' AC C Q AQ 36 1m 6 11 t 36 1m 6 m m t 将 1 11 m t t 6 代入, 并化简, 得 3t 6 6 -t+36=0, 即 36-1m=t (Ⅲ) 点 P 的坐标为 ( 3 6 t 6 11 t, 即, 11- t 6 - m t 6 m 解得 :t1=,t= 点 P 的坐标为 ( ,6) 或 ( 3,6) 19

20 例 8(01 年湖州市中考第 4 题 ) 如图 1, 已知菱形 ABCD 的边长为 *3^(1/), 点 A 在 x 轴负半轴上, 点 B 在坐标原点, 点 D 的坐标为 (-3^(1/), 3), 抛物线 y=a*x^(1/)+b(a 0) 经过 AB CD 的中点. (1) 求这条抛物线的函数解析式 ; () 将菱形 ABCD 以每秒 1 个单位长度的速度沿 x 轴正方向匀速平移 ( 如图 ), 过点 B 作 BE CD 于点 E, 交抛物线于点 F, 连结 DF AF. 设菱形 ABCD 平移的时间为 t 秒 (0 <t < 3^(1/)) 1 是否存在这样的 t, 使 ADF 与 DEF 相似? 若存在, 求出 t 的值 ; 若不存在, 请说明理由 ; 连接 FC, 以点 F 为旋转中心, 将 FEC 按顺时针方向旋转 180 得 F E C, 当 F E C 落在 x 轴与抛物线在 x 轴上方的部分围成的图形中 ( 包括边界 ) 时, 求 t 的取值范围.( 写出答案即可 ) 解答 (1) 由题意得 AB 的中点坐标为 (-3,0),CD 的中点坐标为 (0,3), ( 3) a b 0 a 1 分别代入 y=ax +b, 得, 解得, b 3 b 3 这条抛物线的函数解析式为 y=-x +3 ()1 存在 如图 所示, 在 Rt BCE 中, BEC=90,BE=3,BC= 3, BE sin C C=60, CBE=30 EC= BC= 3,DE= 3 BC 3 又 AD BC, ADC+ C=180 ADC= =10 要使 ADF 与 DEF 相似, 则 ADF 中必有一个角为直角 0

21 (I) 若 ADF=90, EDF=10-90 =30 在 Rt DEF 中,DE= 3, 得 EF=1,DF= 又 E(t,3),F(t,-t +3), EF=3-(-t +3)=t t =1 t>0, t=1 AD 3 DF AD DF 此时,, DE 3 EF DE EF 又 ADF= DEF, ADF DEF DE EF (II) 若 DFA=90, 可证得 DEF FBA, 则 FB BA 设 EF=m, 则 FB=3-m 3 m 3- m 3, 即 m -3m+6=0, 此方程无实数根 此时 t 不存在 (III) 由题意得, DAF< DAB=60, DAF 90, 此时 t 不存在 综上所述, 存在 t=1, 使 ADF 与 DEF 相似 t 如图 3 所示, 依题意作出旋转后的三角形 FE C, 过 C 作 MN x 轴, 分别交抛物线 x 轴于点 M 点 N. 观察图形可知, 欲使 FE C 落在指定区域内, 必须满足 :EE BE 且 MN C N. F(t,3-t ), EF=3-(3-t )=t, EE =EF=t, 由 EE BE, 得 t 3, 解得 t 6^(1/)/. C E =CE=3^(1/), C 点的横坐标为 t-3^(1/), MN=3-(t-3^(1/))^, 又 C N=BE =BE-EE =3-t, 由 MN C N, 得 3-(t-3^(1/)) 3-t, 解得 t 6^(1/) 3^(1/) 或 t -6^(1/)-3( 舍 ). t 的取值范围为 :6^(1/)-3^(1/) t 6^(1/)/. 1

22 例 9 ( 01 年苏州市中考第 9 题 ) 如图 1, 已知抛物线 y=1/4*x^-1/4*(b+1)+b/4(b 是实数且 b>) 与 x 轴的正半轴分别交于点 A B ( 点 A 位于点 B 是左侧 ), 与 y 轴的正半轴交于点 C. (1) 点 B 的坐标为, 点 C 的坐标为 ( 用含 b 的代数式表示 ); () 请你探索在第一象限内是否存在点 P, 使得四边形 PCOB 的面积等于 b, 且 PBC 是以点 P 为直角顶点的等腰直角三角形? 如果存在, 求出点 P 的坐标 ; 如果不存在, 请说明理由 ; (3) 请你进一步探索在第一象限内是否存在点 Q, 使得 QCO QOA 和 QAB 中的任意两个三角形均相似 ( 全等可看作相似的特殊情况 )? 如果存在, 求出点 Q 的坐标 ; 如果不存在, 请说明理由. 解答 b 解 :(1)B(b,0),C(0, ) 4 () 假设存在这样的点 P, 使得四边形 PCOB 的面积等于 b, 且 PBC 是以点 P 为直角点的等腰直角三角形 设点 P 坐标 (x,y), 连接 OP, 则 S 四边形 1 b 1 PCOB S PCO S POB x b y b 4 x+4y=16 过 P 作 PD x 轴,PE y 轴, 垂足分别为 D E, PEO= EOD= ODP=90 四边形 PEOD 是矩形 EPD=90 PBC 是等腰直角三角形, PC=PB, BPC=90 EPC= BPD PEC PDB(AAS) PE=PD, 即 x=y

23 x y 由 x 4y 16 解得,x=y=16/5 由 PEC PDB 得 EC=DB, 即,16/5-b/4=b-16/5 解得 b=18/5> 符合题意 点 P 坐标为 (16/5,16/5) (3) 存在, 假设存在这样的点 Q, 使得 QCO, QOA 和 QAB 中的任意两个三角形均 相似, 由条件可知 : 要使 QOA 与 QAB 相似, 只能 QAO= BAQ=90, 即 QA x 轴 ; 要使 QOA 与 OQC 相似, 只能 QCO=90 或 OQC=90 再分别讨论求出满足题意 Q 的 坐标即可 1 当 OCQ=90 时, QOA OQC, AQ=CO=b/4 由 AQ OA AB b b>, b 8 4 3, 3 4 b 得 : b 1, 解得 : b 当 OQC=90 时, QOA OCQ, 又 AQ 点 Q 坐标为 (1, 3 ). OQ AQ, 即 OQ =AQ*CO CO QC b OA AB, AQ CO OAOB, 即 AQ 1b, 解得 :AQ=4 4 此时 b=17> 符合题意 点 Q 坐标为 (1,4) 综上可知 : 存在点 Q(1, 3 ) 或 (1,4), 使得 QCO QOA 和 QAB 中的任意两 个三角形均相似 3

24 例 10 ( 01 年黄冈市中考第 5 题 ) 如图, 已知抛物线的方程 C1: y=1/m*(x+)*(x-m)(m>0) 与 x 轴相交于点 B C, 与 y 轴相交于点 E, 且点 B 在点 C 的左侧. (1) 若抛物线 C1 过点 M(,), 求实数 m 的值 ; () 在 (1) 的条件下, 求 BCE 的面积 ; (3) 在 (1) 的条件下, 在抛物线的对称轴上找一点 H, 使 BH+EH 最小, 并求出点 H 的坐标 ; (4) 在第四象限内, 抛物线 C1 上是否存在点 F, 使得以点 B C F 为顶点的三角形与 BCE 相似? 若存在, 求 m 的值 ; 若不存在, 请说明理由. 解答 (1) 抛物线 C1 过点 M(,), =-1/m*(+)*(-m), 解得 m=4 () 由 (1) 得 y=1/4*(x+)*(x-4) 令 x=0, 得 y= E(0,),OE= 令 y=0, 得 0=-1/4*(x+)-(x-4), 解得 x1=-,x=4 B(-,,0),C( 4,0),BC=6 BCE 的面积 =1/*6*=6 (3) 由 () 可得 y=1/4*(x+)*(x-4) 的对称轴为 x=1 连接 CE, 交对称轴于点 H, 由轴对称的性质和两点之间线段最短的性质, 知此时 BH+EH 最小 设直线 CE 的解析式为 y=k*x+b, 则 1 4k b 0 k, 解得 直线 CE 的解析式为 y=-1/*x+ b b 当 x=1 时,y=3/ H(1,3/) 4

25 (4) 存在 分两种情形讨论 : 1 当 BEC BCF 时, 如图所示 则 BE/BC=BC/BF, BC =BE BF 由 () 知 B(-,0),E(0,), 即 OB=OE, EBC=45, CBF=45 作 FT x 轴于点 F, 则 BT=TF 令 F(x,-x-)(x>0), 又点 F 在抛物线上, -x-=-1/m*(x+)*(x-m), x+>0( x>0), x=m,f(m,-m-) 此时 BF (m ) ( m ) ( m 1), BE, BC m, 又 BC =BE BF, (m+) = (m+1), 解得 m=± m>0, m=*^(1/)+. 当 BEC FCB 时, 如答图 3 所示. 则 BC/BF=EC/BC, BC^=EC BF. 同 1, EBC= CFB, BTF COE,, 可令 F(x, -/π*(x+))(x>0) 又点 F 在抛物线上, -/π*(x+)= - -1/π*(x+)*(x - m), x+>0( x>0), x=m+, F(m+, -/π*(m+)), EC= (m^+4)^(1/),bc=m+, 又 BC^ =EC BF, (m+)^ =(m^+4)^(1/)*((m++)^+4*(m+4)^/m^)^(1/) 整理得 : 0=16, 显然不成立. 综合 1 得, 在第四象限内, 抛物线上存在点 F, 使得以点 B C F 为顶点的三角形与 BCE 相似,m=*^(1/)+. 5

26 例 11(01 年福州市中考第 题 ) 如图 1, 已知抛物线 y=a*x^+b*x(a 0) 经过 A(3,0) B(4,4) 两点. (1) 求抛物线的解析式 ; () 将直线 OB 向下平移 m 个单位长度后, 得到的直线与抛物线只有一个公共点 D, 求 m 的值及点 D 的坐标 ; (3) 如图, 若点 N 在抛物线上, 且 NBO= ABO, 则在 () 的条件下, 求出所有满足 POD NOB 的点 P 的坐标 ( 点 P O D 分别与点 N O B 对应 ). 解答 a 1 (1) 可采用待定系数法 则有 9a 3b 0;16a 4b 4] 得 b 3 解析式为 : y x 3x ; () 可解的直线 OB 的解析式为 y x ; 设平移后的表达式为 y x m ; 直线与抛物线只有一个公共点, 即有 x 3x x m ; x 4x m 0 ; b 4ac ( 4) 4 1 m 0 ; m 4 解析式为 : y x 4 ; 则可得点 D 的坐标是 (,-) 3 方法一 : 情况一 : 可过点 B 分别作 x 轴和 y 轴的垂线 BF 和 BE; 易证四边形 BFOE 为正方形, 且 NBO= ABO, OB 为正方形的对角线平分一组对角 ; EBO= FBO=45, EBH= FBA( 等式的性质 ) EBH FBA( ASA ),EH=AF, 点 H 的坐标为 (0,3) 点 H 的坐标为 (0,3), 点 B 的坐标为 (4,4), 可用待定系数法解 : 6

27 直线 NB 的表达式为 : 1 y x 3, 即有 1 x 3 x 3x 得 x 1 ; x 4 ( 不合题意, 舍去 ) 点 N 的坐标为 ( (, ) ; 4 16 OD 1 OD 的长为 ;OB 的长为 4 ; 相似比为 ; OB 直线 OD 的解析式为 y x, 直线 OB 的解析式为 y x, 即有 AOD= AOB; 且 ODP1= NBO= ABO ; 也有 ODG OBA, OG OA OD OB 相似比为 DG 1 ; 得 OG 得值为 3 ;P1D 的解析式为 y 4x BA 6 ; 过点 N 与点 P1 作 y 轴和 x 轴的垂线 NK,P1I; 则有 3 NKO P1IO;P1I 的长为 ; 带入 y 4x 6 ; 可知 OI 为 ; 点 P1 的坐标为 ( ; ; ) 情况二 : 可过点 P 和点 N 作 y 轴的垂线 PL 与 NM; PLO NMO( 注 : 若有 POD NOB, 则 POD= NOB) OD 相似比为 ;PL= ; LO= ; OB 8 3 点 P1 的坐标为 ( 3 45, ); 故综上所述点 P 可为 ( ; 3 ; 3 45 );(, ) OD 1 OB ; 方法二 :1 直线 OD 的解析式为 y x, 直线 OB 的解析式为 y x ; OB OD; 便可 将 OBN 旋转 90, 使得 OB 位于直线 OD 上 ; 45 3 如图所示 : DP N 1 B 1, 同理可知点 P 为 ( ; ; ); 3 8 将 OPD 沿着直线 OD 翻折, 即为另一 P 点 ( 3 45, ) 8 3 可过 x 轴作 OBN 的轴对称图形, 如图所示 : DP N 1 B 1 同理可知点 P 为 ( 3 45, ) 将 OPD 沿着直线 OD 翻折,( ; ; ) 3 8 7

28 例 1(013 年上海市中考第 4 题 ) 如图 1, 在平面直角坐标系 xoy 中, 顶点为 M 的抛物线 y=ax^+bx(a>0) 经过点 A 和 x 轴正半轴上的点 B,AO=BO=, AOB=10. (1) 求这条抛物线的表达式 ; () 连结 OM, 求 AOM 的大小 ; (3) 如果点 C 在 x 轴上, 且 ABC 与 AOM 相似, 求点 C 的坐标. 解答 (1) 如图, 过点 A 作 AH y 轴, 垂足为 H. 在 Rt AOH 中,AO=, AOH=30, 所以 AH=1,OH= 3. 所以 A ( 1, 3). 因为抛物线与 x 轴交于 O B(,0) 两点, 3 设 y=ax(x-), 代入点 A ( 1, 3), 可得 a 所以抛物线的表达式为 y x( x ) x x () 由 y x x ( x 1), 得抛物线的顶点 M 的坐标为 (1, ). 所以 tan BOM. 3 3 所以 BOM=30. 所以 AOM=150. (3) 由 A ( 1, 3) 3 B(,0) M (1, ), 得 tan ABO, AB 3, OM. 3 3 OA 所以 ABO=30, 3 OM. 因此当点 C 在点 B 右侧时, ABC= AOM=150. ABC 与 AOM 相似, 存在两种情况 : 8

29 BA OA BA 3 1 当 3 时, BC. 此时 C(4,0). BC OM 3 3 BC OA 当 3 时, BC 3BA 此时 C(8,0). BA OM 9

30 例 13(013 年济南市中考第 4 题 ) 如图 1, 在直角坐标系中有一直角三角形 AOB,O 为坐标原点,OA=1,tan BAO=3, 将此三角形绕原点 O 逆时针旋转 90, 得到 DOC. 抛物线 y=ax^+bx+c 经过点 A B C. (1) 求抛物线的解析式 ; () 若点 P 是第二象限内抛物线上的动点, 其横坐标为 t. 1 设抛物线对称轴 l 与 x 轴交于点 E, 连结 PE, 交 CD 于 F. 求出 CEF 与 COD 相似时点 P 的坐标 ; 是否存在一点 P, 使 PCD 的面积最大? 若存在, 求出 PCD 面积的最大值 ; 若不存在, 请说明理由. 解答 (1) 在 Rt AOB 中,OA=1,tan BAO=OB/OA=3, OB=3OA=3. DOC 是由 AOB 绕点 O 逆时针旋转 90 而得到的, DOC AOB, OC=OB=3,OD=OA=1, A B C 的坐标分别为 (1,0),(0,3)( - 3,0). 代入解析式为 a b c 0 9a 3b c 0, 解得 : c 3 a 1 b. c 3 抛物线的解析式为 y= - x^ - x+3; ()1 抛物线的解析式为 y= - x^-x+3, 对称轴 l= - b/*a= - 1, E 点的坐标为 ( - 1,0). 如图, 当 CEF=90 时, CEF COD. 30

31 此时点 P 在对称轴上, 即点 P 为抛物线的顶点,P( - 1,4); 当 CFE=90 时, CFE COD, 过点 P 作 PM x 轴于点 M, 则 EFC EMP. EM/MP=EF/FC=DO/OC=1/3, MP=3EM. P 的横坐标为 t, P(t, - t^ - *t+3). P 在二象限, PM= -t^-*t+3,em=-1-t, -t^-t+3=3( -1-t), 解得 :t1=-,t=-3( 与 C 重合, 舍去 ), t= - 时,y=-(-)^ - (-)+3=3. P( -,3). 当 CEF 与 COD 相似时,P 点的坐标为 :( -1,4) 或 (-,3); 设直线 CD 的解析式为 y=kx+b, 由题意, 得 -3k b 0, b 1 解得 : 1 k 1 3, 直线 CD 的解析式为 :y= x+1. 3 b 1 设 PM 与 CD 的交点为 N, 则点 N 的坐标为 (t, 3 1 t+1), NM= 3 1 t+1. PN=PM - NM=t^-*t+3 - ( 3 1 t+1)= - t^ S PCD=S PCN+S PDN, S PCD= 1 PM CM+ 1 PN OM = 1 PN ( CM+OM ) = 1 PN OC = (-t^- +) = - (t+ )+, 当 t=- 时,S PCD 的最大值为

32 例 14(013 年徐州市中考第 8 题 ) 如图 1, 二次函数 y=(1/)x^+bx-3/ 的图像与 x 轴交于 A(-3,0) 和点 B, 以 AB 为边在 x 轴上方作正方形 ABCD, 点 P 是 x 轴上一动点, 连结 DP, 过点 P 作 DP 的垂线与 y 轴交于点 E. (1) 请直接写出点 D 的坐标 : ; () 当点 P 在线段 AO( 点 P 不与 A O 重合 ) 上运动时, 线段 OE 的长有最大值, 求出这个最大值 ; (3) 是否存在这样的点 P, 使 PED 是等腰三角形? 若存在, 请求出点 P 的坐标及此时 PED 与正方形 ABCD 重叠部分的面积 ; 若不存在, 请说明理由. 解答 (1)(-3,4) () 设 PA=t,OE=l, 由 DAP= POE= DPE=90, 得 DAP POE, 4 3-t = t l l=- 1 4 t²+3 4 t=-1 4 (t-3 )² 当 t= 3 9 时,l 有最大值 16, 9 即 P 为 AO 中点时,OE 的最大值为 16.(3) 存在 1 当 P 在 y 轴左侧时,P 点的坐标为 (-4,0) 由 PAD PEO, 得 OE=PA=1, OP=OA+PA=4, AG= 4 5 AO=1 5, 重叠部分的面积 = =4 5 当 P 在 y 轴右侧时,P 点的坐标为 (4,0) ( 仿照 1 的步骤, 此时的重叠部分的面积为

33 例 15(013 年陕西省中考第 4 题 ) 在平面直角坐标系中, 一个二次函数的图象经过点 A(1,0) B(3,0) 两点. (1) 写出这个二次函数的对称轴 ; () 设这个二次函数的顶点为 D, 与 y 轴交于点 C, 它的对称轴与 x 轴交于点 E, 连接 AC DE 和 DB, 当 AOC 与 DEB 相似时, 求这个二次函数的表达式. 解答 (1) 二次函数图像的对称轴为直线 x=; () 设二次函数的表达式为 y=a*(x-1)*(x-3) (a 0), 当 x=0 时,y=3*a, 当 x 时,ya. 点 C 坐标为 (0,3*a), 顶点 D 坐标为 (,-a) OC= 3*a, 又 A(1,0),B(,0) OA=1,EB=1,DE= -a =a 当 AOC 与 DEB 相似时, 1 假设 OCA= EBD, 可得 AO/DE=OC/EB. 即 1/ a = 3*a /1 a=3^(1/)/3 或 a=-3^(1/)/3 假设 OCA= EDB, 可得 AO/EB=OC/ED 1/1= 3*a / a 此方程无解 综上所述, 所求二次函数的表达式为 y=3^(1/)/3*x^-4*3^(1/)/3*x+3^(1/) 或 y=-3^(1/)/3*x^+4*3^(1/)/3*x-3^(1/) 33

34 例 16(013 年乌鲁木齐市中考第 4 题 ) 如图 1. 在平面直角坐标系中, 边长为 ^(1/) 的正方形 ABCD 的顶点 A B 在 x 轴上, 连接 OD BD, BOD 的外心 I 在中线 BF 上,BF 与 AD 交于点 E. (1) 求证 : OAD EAB; () 求过点 O E B 的抛物线所表示的二次函数解析式 ; (3) 在 () 中的抛物线上是否存在点 P, 其关于直线 BF 的对称点在 x 轴上? 若有, 求出点 P 的坐标 ; (4) 连接 OE, 若点 M 是直线 BF 上的一动点, 且 BMD 与 OED 相似, 求点 M 的坐标. 解答 (1) 证明 : 如答图 1 所示, 连接 ID,IO, I 为 BOD 的外心, IO=ID, 又 F 为 OD 的中点, IF OD. DEF+ FDE= AEB+ ABE=90, 又 DEF= AEB, FDE= EBA. 而 DA=BA, 且 OAD= EAB=90, OAD EAB. 34

35 () 由 (1) 知 IF OD, 又 BF 为中线, BO=BD=^(1/)*AB=, OA=BO-AB=-^(1/). 由 (1) 知 OAD EAB, AE=OA=-^(1/), E(-^(1/),-^(1/)),B(,0). 设过点 O B E 的抛物线解析式为 y=a*x^+b*x, 4*a * b 0 则有, a *( ^ (1/))^ b*( - ^ (1/)) ( - ^ (1/)) a ^ (1/)/ 解得, b ^ (1/) 抛物线的解析式为 :y= ^(1/)/*x^+^(1/)*x. (3) 直线 BD 与 x 轴关于直线 BF 对称, 抛物线与直线 BD 的交点, 即为所求之点 P. 由 () 可知,B(,0),D(-^(1/),^(1/)), 可得直线 BD 的解析式为 y=-x+. 点 P 既在直线 y=-x+ 上, 也在抛物线 y= ^(1/)/*x^+^(1/)*x 上, -x+= ^(1/)/*x^+^(1/)*x, 解此方程得 :x= 或 x=^(1/), 当 x= 时,y=-x+=0; 当 x=^(1/) 时,y=-x+=-^(1/), 点 P 的坐标为 (,0)( 与点 B 重合 ), 或 (^(1/),-^(1/)). (4) 解 : DBO=45,BD=BO,BF OD, EBA=.5, 由 (1) 知 ODA=.5, 故 DOA=67.5,OA=EA, 35

36 EOA=45, DOE=.5, 即 OED 是顶角为 135 的等腰三角形. 若 BMD 与 OED 相似, 则 BMD 必须是等腰三角形. 如答图 所示, 在直线 BF 上能使 BMD 为等腰三角形的点 M 有 4 个, 分别记为 M1,M,M3,M4, 其中符合题意的是点 M1,M3. DM1=DB=,OA=-^(1/), M1(-^(1/),^(1/)). 由 (1) 知 B(,0),E(-^(1/),-^(1/)), 故直线 BE 的解析式为 y=(1-^(1/)) *x-+*^(1/). I 是 BOD 的外心, 它是 OB 的垂直平分线 x=1 与 OD 的垂直平分线 BE 的交点, I(1,^(1/)-1), 即 M3(1,^(1/)-1). 故符合题意的 M 点的坐标为 (-^(1/),^(1/)),(1,^(1/)-1). 例 17(014 年武汉市中考第 4 题 ) 如图 1,Rt ABC 中, ACB=90, AC=6 cm,bc=8 cm, 动点 P 从点 B 出发, 在 BA 边上以每秒 5 cm 的速度向点 A 匀速运动, 同时动点 Q 从点 C 出发, 在 CB 边上以每秒 4 cm 的速度向点 B 匀速运动, 运动时间为 t 秒 (0<t<), 连结 PQ. (1) 若 BPQ 与 ABC 相似, 求 t 的值 ; () 如图, 连结 AQ CP, 若 AQ CP, 求 t 的值 ; 36

37 (3) 试证明 :PQ 的中点在 ABC 的一条中位线上. 解答 (1)1 当 BPQ BAC 时,,BP=5t,QC=4t,AB=10cm,BC=8cm,, 解得 t=1; 当 BPQ BCA 时,,, 解得. t=1 或 时, BPQ 与 ABC 相似. () 如答图, 过 P 作 PM BC 于点 M,AQ,CP 交于点 N, 则有 PB=5t,PM=3t, MC=8-4t, NAC+ NCA=90, PCM+ NCA=90, NAC= PCM 且 ACQ= PMC=90, ACQ CMP.., 解得 :. (3) 如答图, 过 P 作 PD AC 于点 D, 连接 DQ,BD,BD 交 PQ 于点 M, 则,, PD=BQ 且 PD BQ. 四边形 PDQB 是平行四边形. 点 M 是 PQ 和 BD 的中点. 37

38 过点 M 作 EF AC 分别交 BC,BA 于 E,F 两点, 则, 即点 E 为 BC 的中点. 同理, 点 F 为 BA 的中点. PQ 中点在 ABC 的中位线上. 38

39 例 18(014 年菏泽市中考第 1 题 ) 如图 1, 在平面直角坐标系中, 已知抛 物线 y=x^-*m*x+m^-9. (1) 求证 : 无论 m 为何值, 该抛物线与 x 轴总有两个交点 ; () 该抛物线与 x 轴交于点 A B 两点, 点 A 在点 B 的左侧, 且 OA<OB, 与 y 轴的交点坐标为 (0,-5), 求该抛物线的解析式 ; (3) 在 () 的条件下, 抛物线的对称轴与 x 轴的交点为 N, 若点 M 是线 段 AN 上的任意一点, 过点 M 作直线 MC x 轴, 交抛物线于点 C, 记点 C 关于 抛物线对称轴的对称点为 D, 点 P 是线段 MC 上的一点, 且满足 MP=1/4*MC, 连结 CD PD, 作 PE PD 交 x 轴于点 E, 问是否存在这样的点 E, 使得 PE=PD, 若存在, 求出点 E 的坐标 ; 若不存在, 请说明理由. 解答 (1) 令 y=0, 则 x^-mx+m^-9=0, =(-m)^-4m^+36>0, 无论 m 为何值时方程 x^-mx+m^-9=0 总有两个不相等的实数根, 抛物线 y=x^-mx+m^-9 的开口向上, 顶点在 x 轴的下方, 该抛物线与 x 轴总有两个交点. () 抛物线 y=x6-mx+m^-9 与 y 轴交点坐标为 (0,-5), -5=m^-9. 解得 :m=±. 当 m=-,y=0 时,x^+4x-5=0 解得 :x1=-5,x=1, 抛物线 y=x^-mx+m^-9 与 x 轴交于 A,B 两点 ( 点 A 在点 B 的左侧, 且 OA<OB), m=- 不符合题意, 舍去. m=. 抛物线的解析式为 y=x^-4x-5; (3) 如图, 假设 E 点存在, MC EM,CD MC, EMP= PCD=90. 39

40 MEP+ MPE=90 PE PD, EPD=90, MPE+ DPC=90 MEP= CPD. 在 EMP 和 PCD 中, EMP = PCD MEP = CPD, PE = PD EPM PDC(AAS). PM=DC,EM=PC 设 C(x0,y0), 则 D(4-x0,y0),P(x0,1/4*y0). x0-4=1/4*y0. 点 C 在抛物线 y=x^-4x-5 上 ; y0 x0^-4x0-5 x0-4=1/4*(x0-4x0-5). 解得 :x01=1,x0=11( 舍去 ), P(1,-). PC=6. ME=PC=6. E(7,0). 40

41 例 19(015 年盐城市中考第 8 题 ) 如图 1, 在平面直角坐标系中, 将抛物线 y=x^ 的对称轴绕着点 P(0,) 顺针旋转 45 后与该抛物线交于 A B 两点, 点 Q 是该抛物线上的一点 (1) 求直线 AB 的函数表达式 ; () 如图 1, 若点 Q 在直线 AB 的下方, 求点 Q 到直线 AB 的距离的最大值 ; 如图, 若点 Q 在 y 轴左侧, 且点 T(0,t)(t<) 是射线 PO 上的一点, 当以 P B Q 为顶点的三角形与 PAT 相似时, 求所有满足条件的 t 的值 解答 (1) 如图 1, 设直线 AB 与 x 轴的交点为 M. OPA=45, OM=OP=, 即 M( -,0). 设直线 AB 的解析式为 y=kx+b(k 0), 将 M( -,0),P(0,) 两点坐标代入, 得, 解得. 故直线 AB 的解析式为 y=x+; () 如图 1, 过点 Q 作 x 轴的垂线 QC, 交 AB 于点 C, 再过点 Q 作直线 AB 的垂线, 垂足为 D, 根据条件可知 QDC 为等腰直角三角形, 则 QD= QC. 设 Q(m,m ), 则 C(m,m+). QC=m+ - m = - (m - ) +,QD= QC= [ - (m - ) + ]. 故当 m= 时, 点 Q 到直线 AB 的距离最大, 最大值为 ; (3) APT=45, PBQ 中必有一个内角为 45, 41

42 由图知, BPQ=45 不合题意. 1 如图, 若 PBQ=45, 过点 B 作 x 轴的平行线, 与抛物线和 y 轴分别交于点 Q F. 此时满足 PBQ =45. Q ( -,4),F(0,4), 此时 BPQ 是等腰直角三角形, 由题意知 PAT 也是等腰直角三角形. (i) 当 PTA=90 时, 得到 :PT=AT=1, 此时 t=1; (ii) 当 PAT=90 时, 得到 :PT=, 此时 t=0. 如图 3, 若 PQB=45,1 中是情况之一, 答案同上 ; 先以点 F 为圆心,FB 为半径作圆, 则 P B Q 都在圆 F 上, 设圆 F 与 y 轴左侧的抛物线交于另一点 Q. 则 PQ B= PQ B=45 ( 同弧所对的圆周角相等 ), 即这里的交点 Q 也是符合要求. 设 Q (n,n )( -<n<0), 由 FQ =, 得 n +(4-n 0=, 即 n 4-7n +1=0. 解得 n =3 或 n =4, 而-<n<0, 故 n= -, 即 Q ( -,3). 可证 PFQ 为等边三角形, 所以 PFQ =60, 又 PQ =PQ, 所以 PBQ = PFQ =30. 则在 PQ B 中, PQ B=45, PBQ =30. (i) 若 Q PB PAT, 则过点 A 作 y 轴的垂线, 垂足为 E. 则 ET= AE=,OE=1, 所以 OT= -1, 解得 t=1- ; 4

43 (ii) 若 Q BP PAT, 则过点 T 作直线 AB 垂线, 垂足为 G. 设 TG=a, 则 PG=TG=a,AG= TG= a,ap=, a+a=, 解得 PT= a= -1, OT=OP-PT=3-, t=3-. 综上所述, 所求的 t 的值为 t=1 或 t=0 或 t=1-或 t=3-. 43

44 例 0(016 年湖州市中考第 3 题 ) 如图, 已知二次函数 y=-x^+b*x+c(b, c 为常数 ) 的图象经过点 A(3,1) 点 C(0,4), 顶点为点 M, 过点 A 作 AB x 轴, 交 y 轴于点 D, 交该二次函数图象于点 B, 连结 BC. (1) 求该二次函数的解析式及点 M 的坐标 ; () 若将该二次函数图象向下平移 m(m>0) 个单位, 使平移后得到的二次函数图象的顶点落在 ABC 的内部 ( 不包括 ABC 的边界 ), 求 m 的取值范围 ; (3) 点 P 是直线 AC 上的动点, 若点 P 点 C 点 M 所构成的三角形与 BCD 相似, 请直接写出所有点 P 的坐标 ( 直接写出结果, 不必写解答过程 ). 分析 (1) 将点 A 点 C 的坐标代入函数解析式, 即可求出 b c 的值, 通过配方法得到点 M 的坐标 ; () 点 M 是沿着对称轴直线 x=1 向下平移的, 可先求出直线 AC 的解析式, 将 x=1 代入求出点 M 在向下平移时与 AC AB 相交时 y 的值, 即可得到 m 的取值范围 ; (3) 由题意分析可得 MCP=90, 则若 PCM 与 BCD 相似, 则要进行分类讨论, 分成 PCM BDC 或 PCM CDB 两种, 然后利用边的对应比值求出点坐标. 解答 -9 3*b c 1 (1) 把点 A(3,1), 点 C(0,4) 代入二次函数 y= -x^+b*x+c, 得 c 4 44

45 解得 b=,c=4. 二次函数解析式为 y =-x^+*x+4=-(x-1)^+5, 顶点 M 的 坐标为 (1,5); () 设直线 AC 解析式为 y=k*x+b, 把点 A(3,1),C(0,4) 代入得, 解 得 直线 AC 的解析式为 y=-x+4, 如图所示, 对称轴直线 x=1 与 ABC 两边 AC AB 分别交于点 E 点 F, 把 x=1 代入直线 AC 解析式 y= -x+4 解得 y=3, 则点 E 坐标为 (1,3), 点 F 坐标为 (1,1) 1<5-m<3, 解得 <m<4; (3) 符合题意的点 P 有 4 个 :P1(3,1) P(-3,7) P3(1/3,11/3) P4(-1/3, 13/3) 思路 : 求出点 B D 的坐标, 继而求得 BD:CD=1:3; 因为 MCP BCD, 所有 MC:CP=1:3(3:1). 45

46 第二部分 因动点产生的等腰三角形问题 例 1(008 年温州市中考第 4 题 ) 如图 1, 在 Rt ABC 中, A=90,AB=6, AC=8,D E 分别是边 AB AC 的中点, 点 P 从点 D 出发沿 DE 方向运动, 过点 P 作 PQ BC 与 Q, 过点 Q 作 QR//BA 交 AC 于 R, 当点 Q 于点 C 重合时, 点 P 停止运动. 设 BQ=x,QR=y. (1) 求点 D 到 BC 的距离 DH 的长 ; () 求 y 关于 x 的函数关系式 ( 不要求写出自变量的取值范围 ); (3) 是否存在点 P, 使 PQR 为等腰三角形? 若存在, 请求出所有满足要求的 x 的值 ; 若不存在, 请说明理由. 解 :(1) A Rt, AB 6, AC 8, BC 点 D 为 AB 中点, BD AB 3. DHB A 90, B B. BHD BAC, DH BD AC BC, BD 3 1 DH AC 8. BC 10 5 () QR AB, QRC A 90. C C, RQC ABC, RQ QC AB BC, y 10 x, 即 y 关于 x 的函数关系式为 : y x 6. 5 (3) 存在, 分三种情况 : 1 当 PQ PR 时, 过点 P 作 PM QR 于 M, 则 QM RM. 46 B D P A 1 M H Q R E C

47 1 90, C 90, 1 C cos1 cos C, 10 5 QM QP 5, 1 3 x , x 当 PQ RQ 时, 3 x 6 1, 5 5 x 6. 3 当 PR QR 时, 则 R 为 PQ 中垂线上的点, 于是点 R 为 EC 的中点, B B D H D H A A P Q E R E P R Q C C 1 1 CR CE AC. 4 QR BA tan C, CR CA 3 x , x 综上所述, 当 x 为或 6 或 5 时, PQR 为等腰三角形. 47

48 例 (008 年重庆市中考第 8 题 ) 已知 : 如图 1, 抛物线 y=ax^-ax+c(a 0) 与 y 轴交于点 C(0,4), 与 x 轴交于点 A B, 点 A 的坐标为 (4,0). (1) 求该抛物线的解析式 ; () 点 Q 是线段 AB 上的动点, 过点 Q 作 QE//AC, 交 BC 于点 E, 连结 CQ. 当 CQE 的面积最大时, 求点 Q 的坐标 ; (3) 若平行于 x 轴的动直线 l 与该抛物线交于点 P, 与直线 AC 交于点 F, 点 D 的坐标为 (,0). 问 : 是否存在这样的直线 l, 使得 ODF 是等腰三角形? 若存在, 请求出点 P 的坐标 ; 若不存在, 请说明理由. 解答 (1) 由题意, 得 解得 1 a c a 8a c 4 c 所求抛物线的解析式为 :y=- 1 x +x+4. () 设点 Q 的坐标为 (m,0), 过点 E 作 EG x 轴于点 G. 由 - 1 x +x+4=0, 得 x1=-,x=4 点 B 的坐标为 (-,0) AB=6,BQ=m+ QE AC BQE BAC 即 EG BQ CO BA EG m 4 6 m 4 3 EG= 48

49 S CQE=S CBQ-S EBQ 1 1 = BQ CO - BQ EG 1 m 4 = (m+)(4- ) = m + m =- 3 1 (m-1) +3 又 - m 4 当 m=1 时,S CQE 有最大值 3, 此时 Q(1,0). (3) 存在. 在 ODF 中. (ⅰ) 若 DO=DF A(4,0),D(,0) AD=OD=DF= 又在 Rt AOC 中,OA=OC=4 OAC=45 DFA= OAC=45 ADF=90 度. 此时, 点 F 的坐标为 (,) 由 - 1 x +x+4=, 得 x 1=1+ 5,x =1-5 此时, 点 P 的坐标为 :P(1+ 5,) 或 P(1-5,). (ⅱ) 若 FO=FD, 过点 F 作 FM x 轴于点 M 由等腰三角形的性质得 :OM= 1 OD=1 AM=3 在等腰直角 AMF 中,MF=AM=3 F(1,3) 由 - 1 x +x+4=3, 得 x1=1+ 3,x=1-3 49

50 此时, 点 P 的坐标为 :P(1+ 3,3) 或 P(1-3,3). (ⅲ) 若 OD=OF OA=OC=4, 且 AOC=90 AC=4 点 O 到 AC 的距离为, 而 OF=OD=<, 与 OF 矛盾, 所以 AC 上不存在点使得 OF=OD=, 此时, 不存在这样的直线 l, 使得 ODF 是等腰三角形综上所述, 存在这样的直线 l, 使得 ODF 是等腰三角形 所求点 P 的坐标为 :P(1+ 5,) 或 P(1-5,) 或 P(1+ 3,3) 或 P(1-3,3). 50

51 例 3(009 年上海市中考第 4 题 ) 在平面直角坐标系内,O 为原点, 点 A 的坐标为 (1,0), 点 C 的坐标为 (0,4), 直线 CM//x 轴 ( 如图 1 所示 ). 点 B 与 点 A 关于原点对称, 直线 y=x+b(b 为常数 ) 经过点 B, 且与直线 CM 相交于点 D, 连结 OD. 半径. (1) 求 b 的值和点 D 的坐标 ; () 设点 P 在 x 轴的正半轴上, 若 POD 是等腰三角形, 求点 P 的坐标 ; (3) 在 () 的条件下, 如果以 PD 为半径的圆 P 与圆 O 外切, 求圆 O 的 解答 解 :(1) 点 A 的坐标为 (1, 0), 点 B 与点 A 关于原点对称, 点 B 的坐标为 ( 1, 0). 直线 y x b 经过点 B, 1 b 0, 得 b 1. 点 C 的坐标为 (0, 4), 直线 CM // x 轴, 设点 D 的坐标为 ( x, 4). 直线 y x 1与直线 CM 相交于点 D, x 3. D 的坐标为 (3, 4). () D 的坐标为 (3, 4), OD 5. 当 PD OD 5 时, 点 P 的坐标为 (6, 0) ; 当 PO OD 5 时, 点 P 的坐标为 (5, 0), 当 PO PD 时, 设点 P 的坐标为 ( x, 0) ( x 0), 5 x ( x 3) 4, 得 x, 点 P 的坐标为 6 5 综上所述, 所求点 P 的坐标是 (6, 0) (5, 0) 或 (3) 当以 PD 为半径的圆 P 与圆 O 外切时, ( 0) 6,. 5 ( 0) 6,. 若点 P 的坐标为 (6, 0), 则圆 P 的半径 PD 5, 圆心距 PO 6, 圆 O 的半径 r 1. 若点 P 的坐标为 (5, 0), 则圆 P 的半径 PD 5, 圆心距 PO 5, 圆 O 的半径 r 5 5. 综上所述, 所求圆 O 的半径等于 1 或

52 例 4(009 年黄冈市中考第 0 题 ) 如图 1, 在平面直角坐标系 xoy 中, 抛物线 y=1/18*x^-4/9*x-10 与 x 轴交于点 A, 与 y 轴交于点 B, 过点 B 作 x 轴的平行线 BC, 交抛物线于点 C, 连结 AC. 现有两动点 P Q 分别从 O C 两点同时出发, 点 P 以每秒 4 个单位的速度沿 OA 向终点 A 移动, 点 Q 以每秒 1 个单位的速度沿 CB 向点 B 移动, 点 P 停止运动时, 点 Q 也同时停止运动. 线段 OC,PQ 相交于点 D, 过点 D 作 DE OA, 交 CA 于点 E, 射线 QE 交 x 轴于点 F. 设动点 P Q 移动的时间为 t ( 单位 : 秒 ) (1) 求 A B C 三点的坐标和抛物线的顶点的坐标 ; () 当 t 为何值时, 四边形 PQCA 为平行四边形? 请写出计算过程 ; (3) 当 0<t<9/ 时, PQF 的面积是否总为定值? 若是, 求出此定值 ; 若不是, 请说明理由 ; (4) 当 t 为何值时, PQF 为等腰三角形? 请写出解答过程. 解答 1 :(1) y ( x 8 x 180), 令 y 0得 x 18 x 18或 x 10 A (18,0) ; 8x 180 0, x 18x 在 y x x 10 中, 令 x 0 得 y 10 即 B(0, 10) ; 由于 BC OA, 故点 C 的纵坐标为 -10, 由 10 x x 10 得 x 8 或 x 即 C(8, 10) 且易求出顶点坐标为 (4, ) 9 98 于是, A(18,0), B(0, 10), C(8, 10), 顶点坐标为 (4, ) 9 () 若四边形 PQCA 为平行四边形, 由于 QC PA 故只要 QC=PA 即可, 而 5

53 18 PA 18 4 t, CQ t 故 18 4t t 得 t ; 5 (3) 设点 P 运动 t 秒, 则 OP 4 t, CQ t,0 t 4.5, 说明 P 在线段 OA 上, 且 不与点 OA 重合, 1 由于 QC OP 知 QDC PDO, 故 QD QC t DP OP 4t 4 AF 4t OP PF PA AF PA OP 又点 Q 到直线 PF 的距离 d 10, SPQF PF d , 于是 PQF 的面积总为 90 (4) 由上知, P(4 t,0), F(18 4 t,0), Q(8 t, 10),0 t 4.5 构造直角三角形后 易得 PQ (4t 8 t) 10 (5t 8) 100, FO (18 4t 8 t) 10 (5t 10) 100 二 若 FP=PQ, 即 18 (5t 8) 100, 故 5( t ) 4, t 6.5 t t 三 若 QP=QF, 即 (5t 8) 100 (5t 10) 100, 无 0 t 4.5 的 t 满足条件 ; 四 若 PQ=PF, 即 (5t 8) , 得 (5t 8) 4, 8 t 或 t 0 都不满足 0 t 4.5, 故无 0 t 4.5 的 t 满足方程 ; 5 综上所述 : 当 4 14 时, PQR 是等腰三角形 t 5 53

54 例 5(009 年深圳市中考第 3 题 ) 如图 1, 在平面直角坐标系中, 直线 l: y=-*x-8 分别与 x 轴,y 轴相交于 A B 两点, 点 P(0,k) 是 y 轴的负半轴上的一个动点, 以 P 为圆心,3 为半径作 P. (1) 连结 PA, 若 PA=PB, 试判断 P 与 x 轴的位置关系, 并说明理由 ; () 当 k 为何值时, 以 P 与直线 l 的两个交点和圆心 P 为顶点的三角形是正三角形? 解答 (1) P 与 x 轴相切. 直线 y=-x-8 与 x 轴交于 A(4,0), 与 y 轴交于 B(0,-8), OA=4,OB=8. 由题意,OP=-k, PB=PA=8+k. 在 Rt AOP 中,k +4 =(8+k), k=-3, OP 等于 P 的半径, P 与 x 轴相切. () 设 P 与直线 l 交于 C,D 两点, 连结 PC,PD 当圆心 P 在线段 OB 上 时, 作 PE CD 于 E. PCD 为正三角形, DE= 1 CD= 3,PD=3, PE= 3 3. AOB= PEB=90, ABO= PBE, 54

55 AOB PEB, 3 3 AO PE 4, 即 =, AB PB 4 5 PB PB 3 15, 3 15 PO BO PB 8, P(0, ), k 当圆心 P 在线段 OB 延长线上时, 同理可得 P(0, k= , -8), 当 k= 或 k= 时, 以 P 与直线 l 的两个交点和圆心 P 为顶 点的三角形是正三角形. 55

56 例 6(009 年重庆市中考第 6 题 ) 已知 : 如图 1, 在平面直角坐标系 xoy 中, 矩形 OABC 的边 OA 在 y 轴的正半轴上,OC 在 x 轴的正半轴上,OA=, OC=3, 过原点 O 作 AOC 的平分线交 AB 于点 D, 连结 DC, 过点 D 作 DE DC, 交 OA 于点 E. (1) 求过点 E D C 的抛物线的解析式 ; () 将 EDC 绕点 D 按顺时针方向旋转后, 角的一边与 y 轴的正半轴交于点 F, 另一边与线段 OC 交于点 G. 如果 DF 与 (1) 中的抛物线交于另一点 M, 点 M 的横坐标为 6/5, 那么 EF=*GO 是否成立? 若成立, 请给予证明 ; 若不成立, 请说明理由 ; (3) 对于 () 中的点 G, 在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点 Q, 使得直线 GQ 与 AB 的交点 P 与点 C G 构成的 PCG 是等腰三角形? 若存在, 请求出点 Q 的坐标 ; 若存在, 请说明理由. 解答 (1) 由已知, 得 C (3, 0), D (, ), ADE 90 CDB BCD, 1 AE AD tanade tanbcd 1. E (0, 1). 设过点 E D C 的抛物线的解析式为 将点 E 的坐标代入, 得 c 1. 将 c 1和点 D C 的坐标分别代入, 得 y ax bx c a ( 0). 56

57 4a b 1, 9a 3b a 6 解这个方程组, 得 13 b 故抛物线的解析式为 y x x () EF GO 成立. 点 M 在该抛物线上, 且它的横坐标为 1 点 M 的纵坐标为 5. 设 DM 的解析式为 y kx b ( k 0), 1 将点 D M 的坐标分别代入, 得 6 5, F A y M D B k b1, 6 1 k b k, 解得 b1 3. E O G K C x 1 DM 的解析式为 y x 3. F (0, 3), EF. 过点 D 作 DK OC 于点 K, 则 DA DK. ADK FDG 90, FDA GDK. 又 FAD GKD 90, DAF DKG. KG AF 1. GO 1. EF GO. 57

58 (3) 点 P 在 AB 上, G (1, 0), C (3, 0), 则设 P (1, ). PG ( t 1), PC (3 t), GC. 1 若 PG PC, 则 ( t 1) (3 t), 解得 t. P (, ), 此时点 Q 与点 P 重合. Q (, ). 若 PG GC, 则 ( t 1), 解得 t 1, P(1, ), 此时 GP x 轴. GP 与该抛物线在第一象限内的交点 Q 的横坐标为 1, 点 Q 的纵坐标为 7 Q 1, 3. 3 若 PC GC 7 3., 则 (3 t), 解得 t 3, P(3, ), 此时 PC GC, PCG 是等腰直角三角形. 过点 Q 作 QH x 轴于点 H, 则 QH GH, 设 QH h, Q( h 1, h) h, h ( 舍去 ). 5 ( h 1) ( h 1) 1 h. 解得 1 A E O y P Q G (Q) D(P) B(P) Q H C x 1 7 Q,. 5 5 综上所述, 存在三个满足条件的点 Q, 即 Q (, ) 或 Q 7 1 或 1 7, Q.,

59 例 7(010 年南通市中考第 7 题 ) 如图 1, 在矩形 ABCD 中,AB=m(m 是大于 0 的常数 ),BC=8,E 为线段 BC 上的动点 ( 不与 B C 重合 ). 连结 DE, 作 EF DE,EF 与射线 BA 交于点 F, 设 CE=x,BF=y. (1) 求 y 关于 x 的函数关系式 ; () 若 x=8, 求 x 为何值时,y 的值最大, 最大值是多少? (3) 若 y=1/m, 要使 DEF 为等腰三角形,m 的值应为多少? 解答 (1) EF DE, DEF=90, BEF+ CED=90 BEF+ BFE=90, BFE= CED 又 B= C=90, BEF CDE BF = BE CD CE, 即 y=- m 1 x + m 8 x y 8 x = m x () 若 m=8, 则 y=- 8 1 x +x=- 8 1 ( x-4) + 当 x=4 时,y 的值最大,y 最大 = (3) 若 y= m 1, 则 - m 1 x + m 8 x= m 1 x -8x+1=0, 解得 x1=,x=6 =EF DEF 为直角三角形, 要使 DEF 为等腰三角形, 只能 DE 又 DE =CD +CE =m +x,ef =BE +BF =( 8-x) +y =( 8 -x) m m +x =( 8-x) 144 +, m 即 m x-64- m 59 =0 当 x= 时,m =0, m 即 m 4-3m -144=0 解得 m =36 或 m =-4( 舍去 )

60 m>0, m= m>0, m=6 当 x=6 时,m =0, m 即 m 4 +3m -144=0 解得 m =-36( 舍去 ) 或 m =4 60

61 例 8(010 年台州市中考第 4 题 ) 如图 1,Rt ABC 中, C=90,BC=6, AC=8, 点 P Q 都是斜边 AB 上的动点, 点 P 从 B 向 A 运动 ( 不与点 B 重合 ), 点 Q 从 A 向 B 运动,BP=AQ. 点 D E 分别是点 A B 以 Q P 为对称中心的对称点,HQ AB 于 Q, 交 AC 于点 H, 当点 E 到达顶点 A 时,P Q 同时停止运动, 设 BP 的长为 x, HDE 的面积为 y. (1) 求证 : DHQ ABC; () 求 y 关于 x 的函数关系式并求 y 的最大值 ; (3) 当 x 为何值时, HDE 为等腰三角形? 解答 (1) A D 关于点 Q 成中心对称,HQ AB, HQD C =90,HD=HA, HDQ A, DHQ ABC. ( 图 1) ( 图 ) ()1 如图 1, 当 0 x. 5 时, 3 ED= 10 4x,QH= AQ tan A x, 此时 y 1 (10 4x) x x x 4. 4 当 5 75 x 时, 最大值 y

62 如图, 当.5 x 5时, 3 ED= 4x 10,QH= AQ tan A x, 此时 y 1 (4x 10) x x x 4. 4 当 x 5 时, 最大值 75 y x x(0 x.5), y 与 x 之间的函数解析式为 y x x(.5 x 5). 4 y 的最大值是 (3)1 如图 1, 当 0 x. 5 时, QA 5 若 DE=DH, DH=AH= cos A x = 5 x, 40 x. 4 1 显然 ED=EH,HD=HE 不可能 ; 如图, 当.5 x 5时, 若 DE=DH, 4x 10 = 5 x, 40 x ; 4 11 x, DE= 10 4x, 若 HD=HE, 此时点 D,E 分别与点 B,A 重合, x 5 ; 若 ED=EH, 则 EDH HDA, ED DH, 4x 10 DH AD 5 x 4 当 x 的值为 40, 1 5 x 4 30, x. x ,5, 时, HDE 是等腰三角形

63 例 9(011 年湖州市中考第 4 题 ) 如图 1, 已知正方形 OABC 的边长为, 顶点 A C 分别在 x y 轴的正半轴上,M 是 BC 的中点.P(0,m) 是线段 OC 上一动点 (C 点除外 ), 直线 PM 交 AB 的延长线于点 D. (1) 求点 D 的坐标 ( 用含 m 的代数式表示 ); () 当 APD 是等腰三角形时, 求 m 的值 ; (3) 设过 P M B 三点的抛物线与 x 轴正半轴交于点 E, 过点 O 作直线 ME 的垂线, 垂足为 H( 如图 ). 当 P 从 O 向 C 运动时, 点 H 也随之运动, 请 直接写出点 H 所经过的路长 ( 不必写解答过程 ) 解答 ⑴ 由题意得 CM=BM, PMC= DMB, Rt PMC Rt DMB, DB=PC, DB=-m,AD=4-m, 点 D 的坐标为 (,4-m). ⑵ 分三种情况 1 若 AP=AD, 则 4+m =(4-m) 3, 解得 m 若 PD=PA y C M D B 过 P 作 PF AB 于点 F( 如图 ), P F 则 AF=FD= 1 AD= 1 (4-m) O A x 又 OP=AF, 63

64 m 1 (4 m) 3 若 PD=DA, 4 m 3 PMC DMB, PM= 1 PD= 1 AD= 1 (4-m), PC +CM =PM, 1 ( m) 1 (4 m), 4 解得 m1, m ( 舍去 ) 3 综上所述, 当 APD 是等腰三角形时,m 的值为 3 4 或或 3 3 ⑶ 点 H 所经过的路径长为

65 例 10(011 年盐城市中考第 8 题 ) 如图 1, 已知一次函数 y=-x+7 与正比例函数 y=4/3*x 的图像交于点 A, 且与 x 轴交于点 B. (1) 求点 A 和点 B 的坐标 ; () 过点 A 作 AC y 轴于点 C, 过点 B 作直线 l//y 轴. 动点 P 从点 O 出发, 以每秒 1 个单位长的速度, 沿 O-C-A 的路线向 A 运动 ; 同时直线 l 从点 B 出发, 以相同速度向左平移, 在平移过程中, 直线 l 交 x 轴于点 R, 交线段 BA 或线段 AO 于点 Q. 当 P 到达点 A 时, 点 P 和直线 l 都停止运动. 在运动过程中, 设动点 P 运动的时间为 t 秒. 1 当 t 为何值时, 以 A P R 为顶点的三角形的面积为 8? 是否存在以 A P Q 为顶点的三角形是等腰三角形? 若存在, 求 t 的值 ; 若不存在, 请说明理由. 解答 (1) 根据题意, 得 y=-x+7 y= 4 3 x, 解得 x=3 y=4, A(3,4). 令 y=-x+7=0, 得 x=7. B(7,0). ()1 当 P 在 OC 上运动时,0 t<4. 由 S APR=S 梯形 COBA-S ACP-S POR-S ARB=8, 得 1 (3+7) (4-t)- 1 t(7-t)- 1 t 4=8 整理, 得 t -8t+1=0, 解之得 t1=,t=6( 舍 ) 当 P 在 CA 上运动,4 t<7. 由 S APR= 1 (7-t) 4=8, 得 t=3( 舍 ) 65

66 当 t= 时, 以 A P R 为顶点的三角形的面积为 8. 当 P 在 OC 上运动时,0 t<4. 此时直线 l 交 AB 于 Q AP= (4-t) +3,AQ= t,pq=7-t 当 AP =AQ 时, (4-t) +3 =(4-t), 整理得,t -8t+7=0. t=1, t=7( 舍 ) 当 AP=PQ 时,(4-t) +3 =(7-t), 整理得,6t=4. t=4( 舍去 ) 当 AQ=PQ 时,(4-t) =(7-t) 整理得,t -t-17=0 t=1±3 ( 舍 ) 当 P 在 CA 上运动时,4 t<7. 此时直线 l 交 AO 于 Q 过 A 作 AD OB 于 D, 则 AD=BD=4. 设直线 l 交 AC 于 E, 则 QE AC,AE=RD=t-4,AP=7-t. 由 cos OAC= AE AQ = AC AO, 得 AQ = 5 3 (t-4). 当 AP=AQ 时,7-t = 5 3 (t-4), 解得 t = 当 AQ=PQ 时,AE=PE, 即 AE= 1 AP 得 t-4= 1 (7-t), 解得 t =5. 当 AP=PQ 时, 过 P 作 PF AQ 于 F AF= 1 AQ = (t-4). 在 Rt APF 中, 由 cos PAF= AF AP = 3 5, 得 AF= 3 5 AP 1 即 5 3 (t-4)= 3 5 (7-t), 解得 t= 综上所述,t=1 或 41 或 5 或 时, APQ 是等腰三角形. 66

67 例 11(01 年扬州市中考第 7 题 ) 已知抛物线 y=a*x^+b*x+c 经过 A (-1,0) B(3,0) C(0,3) 三点, 直线 l 是抛物线的对称轴. (1) 求抛物线的函数关系式 ; () 设点 P 是直线 l 上的一个动点, 当 PAC 的周长最小时, 求点 P 的坐标 ; (3) 在直线 l 上是否存在点 M, 使 MAC 为等腰三角形? 若存在, 直接写出所有符合条件的点 M 的坐标 ; 若不存在, 请说明理由. 解答 (1) A(-1,0) B(3,0) 经过抛物线 y=ax +bx+c, 可设抛物线为 y=a(x+1)(x-3) 又 C(0,3) 经过抛物线, 代入, 得 3=a(0+1)(0-3), 即 a=-1 抛物线的解析式为 y=-(x+1)(x-3), 即 y=-x +x+3 () 连接 BC, 直线 BC 与直线 l 的交点为 P 则此时的点 P, 使 PAC 的周长最小 设直线 BC 的解析式为 y=kx+b, 3k b 0 k 1 将 B(3,0),C(0,3) 代入, 得 :, 解得 : b 3 b 3 直线 BC 的函数关系式 y=-x+3 当 x-1 时,y=, 即 P 的坐标 (1,) (3) 存在 点 M 的坐标为 (1, 6 ),(1,- 6 ),(1,1),(1,0) 由于 MAC 的腰和底没有明确, 因此要分三种情况来讨论 :1MA=AC MA=MC AC =MC; 可先设出 M 点的坐标, 然后用 M 点纵坐标表示 MAC 的三边长, 再按上面的三种情况列式求解 : 抛物线的对称轴为 : x=1, 设 M(1,m) A(-1,0) C(0,3), MA =m +4,MC =m -6m+10,AC =10 67

68 1 若 MA=MC, 则 MA =MC, 得 :m +4=m -6m+10, 得 :m=1 若 MA=AC, 则 MA =AC, 得 :m +4=10, 得 :m=± 6 3 若 MC=AC, 则 MC =AC, 得 :m -6m+10=10, 得 :m=0,m=6, 当 m=6 时,M A C 三点共线, 构不成三角形, 不合题意, 故舍去 综上可知, 符合条件的 M 点, 且坐标为 (1, 6 ),(1,- 6 ),(1,1),(1,0) 68

69 例 1(01 年临沂市中考第 6 题 ) 如图, 点 A 在 x 轴上,OA=4, 将线段 OA 绕点 O 顺时针旋转 10 至 OB 的位置. (1) 求点 B 的坐标 ; () 求经过点 A O B 的抛物线的解析式 ; (3) 在此抛物线的对称轴上, 是否存在点 P, 使得以点 P O B 为顶点的三角形是等腰三角形? 若存在, 求点 P 的坐标 ; 若不存在, 说明理由. 解答 (1) 如图, 过 B 点作 BC x 轴, 垂足为 C, 则 BCO=90 AOB=10, BOC=60 又 OA=OB=4, 3 OC=1/*OB=1/ 4=,BC=OB sin60 = 4 3 点 B 的坐标为 (-,- 3 ) () 抛物线过原点 O 和点 A.B, 可设抛物线解析式为 y=ax +bx, 将 A(4,0),B( -,- 3 ) 代入, 得 16a 4b 0 4a b a, 解得 3 b 此抛物线的解析式为 3 3 y x 6 3 (3) 存在如图, 抛物线的对称轴是 x=, 直线 x= 与 x 轴的交点为 D, 设点 P 的坐标为 (,y) 1 若 OB=OP, 则 + y =4, 解得 y=±*3^(1/), 当 y=*3^(1/) 时, 在 Rt POD 中, POD=90,sin POD=PD/OP=3^(1/)/, 69

70 POD=60 POB= BOC+ AOB= =180, 即 P O B 三点在同一直线上 y= 3 不符合题意, 舍去 点 P 的坐标为 (,- 3 ) 若 OB=PB, 则 4 + y+ 3 =4, 解得 y= - 3 点 P 的坐标为 (,- 3 ) 3 若 OP=BP, 则 + y =4 + y+ 3, 解得 y= - 3 点 P 的坐标为 (,- 3 ) 综上所述, 符合条件的点 P 只有一个, 其坐标为 (,- 3 ) 70

71 例 13(014 年长沙市中考第 6 题 ) 如图 1, 抛物线 y=a*x^+b*x+c(a b c 是常数,a 0) 的对称轴为 y 轴. 且经过 (0,0) 和 (a^(1/),1/16) 两点, 点 P 在该抛物线上运动, 以点 P 为圆心的圆 P 总经过定点 A(0,). (1) 求 a b c 的值 ; () 求证 : 在点 P 运动的过程中, 圆 P 始终与 x 轴相交 ; (3) 设圆 P 与 x 轴相交于 M(x1,0) N(x,0)(x>x1) 两点, 当 AMN 为等腰三角形时, 求圆心 P 的纵坐标. 解答 (1) 抛物线 y=ax+bx+c(a,b,c 是常数,a 0) 的对称轴为 y 轴, 且经过 (0, 0) 和 (a^(1/),1/16) 两点, 抛物线的一般式为 :y=ax^, 1/16=a(^(1/))^, 解得 :a=±1/4, 图象开口向上, a=1/4, 抛物线解析式为 :y=1/4*x^, 故 a=1/4,b=c=0; () 设 P(x,y), P 的半径 r=(x^+(y-)^)^(1/), 又 y=1/4*x^, 则 r=(x^+(1/4*x^-)^)^(1/), 化简得 :r=(1/16*a^4+4)^(1/)>1/4*x^, 71

72 点 P 在运动过程中, P 始终与 x 轴相交 ; (3) 设 P(a,1/4*a^), PA=(1/16*a^4+4)^(1/), 作 PH MN 于 H, 则 PM=PN=(1/16*a^4+4)^(1/), 又 PH=1/4*a^, 则 MH=NH=(1/16*a^+4-(1/4*a^)^)^(1/)=, 故 MN=4, M(a-,0),N(a+,0), 又 A(0,), AM=((a-)^+4)^(1/),AN=((a+)^+4)^(1/), 当 AM=AN 时,((a-)^+4)^(1/)=((a+)^+4)^(1/), 解得 :a=0, 当 AM=MN 时,((a-)^+4)^(1/)=4, 解得 :a=±*3^(1/), 则 1/4*a^=4±*3^(1/); 综上所述,P 的纵坐标为 :0 或 4+*3^(1/) 或 4-*3^(1/). 7

73 例 14(014 年金华市中考第 4 题 ) 如图, 直角梯形 ABCO 的两边 OA OC 在坐标轴的正半轴上,BC x 轴,OA=OC=4, 以直线 x=1, 为对称轴的抛物线经过 A B C 三点. (1) 求该抛物线的函数解析式 ; () 已知直线的解析式为 y=x+m, 它与 x 轴交于点 G, 在梯形 ABCO 的一边上取点 P;1 如图 1, 当 m=0 时, 点 P 是抛物线的对称轴与 BC 的交点, 过点 P 作 PH 直线 l 于点 H, 连结 OP, 试求 OPH 的面积 ; 如图, 当 m=-3 时, 过点 P 作 x 轴 直线 l 的垂线, 垂足分别为 E F. 是否存在这样的点 P, 使以 P E F 为顶点的三角形是等腰三角形? 若存在, 求出点 P 的坐标 ; 若不存在, 请说明理由. 解答 (1) 由题意得 :A(4,0),C(0,4). 设抛物线的解析式为 y=ax^ +bx+c, 则有 16*a 4*b c 0 c 4 b / a a 1/, 解得 b 1, c 4 抛物线的函数解析式为 :y= - 1/*x^ +x+4. ()1 当 m=0 时, 直线 l:y=x. 抛物线对称轴为 x=1, CP=1. 如答图 1, 延长 HP 交 y 轴于点 M, 则 OMH CMP 均为等腰直角三角形. CM=CP=1, OM=OC+CM=5. 73

74 S OPH=S OMH - S OMP=1/* ( ^(1/)/*OM ) ^ - 1/*OM OP=1/* (^(1/)/*5)^ -1/*5*1=15/4, S OPH=15/4. 当 m= -3 时, 直线 l:y=x-3. 设直线 l 与 x 轴 y 轴交于点 G 点 D, 则 G(3,0),D( -3,0). 假设存在满足条件的点 P. i) 当点 P 在 OC 边上时, 如答图 -1 所示, 此时点 E 与点 O 重合. 设 PE=a(0<a 4), 则 PD=3+a,PF= ^(1/)/*PD=^(1/)/*(3+a). 过点 F 作 FN y 轴于点 N, 则 FN=PN=^(1/)/*PF, EN= PN-PE =^(1/)/* PF-PE. 在 Rt EFN 中, 由勾股定理得 :EF= EN FN = PE - PE PF PF. 若 PE=PF, 则 :a=^(1/)/*(3+a), 解得 a=3*(^(1/)+1)>4, 故此种情形不 存在 ; 若 PF=EF, 则 :PF= PE - PE PF PF, 整理得 PE= ^(1/)*PF, 即 a=3+a, 不成立, 故此种情形不存在 ; 若 PE=EF, 则 :PE= PE - PE PF PF, 整理得 PF=PE, 即 ^(1/)/*(3+a) =^(1/)*a, 解得 a=3. P(0,3). ii) 当点 P 在 BC 边上时, 如答图 所示, 此时 PE=4. 设 CP=a(0 a ), 则 P(a,4); 设直线 PE 与直线 l 交点为 Q, 则 Q(a,a-3), PQ=7-a. PF= ^(1/)/*(7-a). 与 i) 同理, 可求得 :EF= PE - PE PF PF. 74

75 若 PE=PF, 则 ^(1/)/*(7 - a)=4, 解得 a=7-4*^(1/) >, 故此种情形不 存在 ; 若 PF=EF, 则 PF= PE - PE PF PF, 整理得 PE=^(1/)*^(1/)*PF, 即 4=^(1/)/*(7 - a), 解得 a=3>, 故此种情形不存在 ; 若 PE=EF, 则 PE= PE - PE PF PF, 整理得 PF=^(1/)*PE, 即 ^(1/)/* (7-a)=4*^(1/), 解得 a= -1, 故此种情形不存在. A(4,0),B(,4), 可求得直线 AB 解析式为 :y=-x+8; 联立 y= -x+8 与 y=x-3, 解得 x= 11/3,y=/3. 设直线 BC 与直线 l 交于点 K, 则 K(11/3,/3). iii) 当点 P 在线段 BK 上时, 如答图 -3 所示. 设 P(a,8-a)( a 11/3), 则 Q(a,a - 3), PE=8-a,PQ=11-3a, PF=^(1/)/*(11-3a). 与 i) 同理, 可求得 :EF= PE - PE PF PF. 若 PE=PF, 则 8-a=^(1/)/*(11-3a), 解得 a=1-*^(1/) <0, 故此种情 形不存在 ; 若 PF=EF, 则 PF= PE - PE PF PF, 整理得 PE= ^(1/)*PF, 即 8 - a=^(1/)*^(1/)/*(11-3a), 解得 a=3, 符合条件, 此时 P(3,); 若 PE=EF, 则 PE= PE - PE PF PF, 整理得 PF= ^(1/)*PE, 即 ^(1/)/* (11-3a)= ^(1/)*(8-a), 解得 a=5> 11/3, 故此种情形不存在. iiii) 当点 P 在线段 KA 上时, 如答图 -4 所示. PE PF 夹角为 135, 只可能是 PE=PF 成立. 75

76 点 P 在 KGA 的平分线上. 设此角平分线与 y 轴交于点 M, 过点 M 作 MN 直线 l 于点 N, 则 OM=MN, MD=^(1/)*MN, 由 OD=OM+MD=3, 可求得 M(0,3-3*^(1/)). 又 G(3,0), 可求得直线 MG 的解析式为 :y=(^(1/)-1)*x+3-3. 联立直线 MG:y=(^(1/) -1)*x+3-3 与直线 AB:y= -x+8, 可求得 :P(1+*^(1/),6-4*^(1/)). iiiii) 当点 P 在 OA 边上时, 此时 PE=0, 等腰三角形不存在. 综上所述, 存在满足条件的点 P, 点 P 坐标为 :(0,3) (3,) (1+*^(1/), 6-4*^(1/)). 76

77 例 15(014 年上海市中考第 5 题 ) 如图 1, 已知在平行四边形 ABCD 中, AB=5,BC=8,cosB=4/5, 点 P 是边 BC 上的动点, 以 CP 为半径的圆 C 与边 AD 交于点 E F( 点 F 在点 E 的右侧 ), 射线 CE 与射线 BA 交于点 G. (1) 当圆 C 经过点 A 时, 求 CP 的长 ; () 连结 AP, 当 AP CG 时, 求弦 EF 的长 ; (3) 当 AGE 是等腰三角形时, 求圆 C 的半径长. 解答 (1) 如图 1, 设 O 的半径为 r, 当点 A 在 C 上时, 点 E 和点 A 重合, 过点 A 作 AH BC 于 H, BH=AB*cosB=4, AH=3,CH=4, AC= =5, 此时 CP=r=5; () 如图, 若 AP CE,APCE 为平行四边形, CE=CP, 四边形 APCE 是菱形, 连接 AC EP, 则 AC EP, AM=CM=, 由 (1) 知,AB=AC, 则 ACB= B, CP=CE=, EF= 5 ( ) (3) 如图 3: 过点 C 作 CN AD 于点 N, 过点 A 作 AQ BC 于点 Q, cosb= 5 4 B<45, BCG<90, 77

78 BGC>45, BGC> B= GAE, 即 BGC GAE, 又 AEG= BCG ACB= B= GAE, 当 AEG= GAE 时,A E G 重合, 则 AGE 不存在. 即 AEG GAE 只能 AGE= AEG, AD BC, GAE GBC, 即 解得,AE=3,EN=AN-AE=1 CE= 78

79 例 16(015 年重庆市中考第 5 题 ) 如图 1, 在 ABC 中, ACB=90, BAC=60, 点 E 是 BAC 的平分线上的一点, 过点 E 作 AE 的垂线, 过点 A 作 AB 的垂线, 两垂线交于点 D, 连结 DB, 点 F 是 BD 的中点,DH AC, 垂足为 H 连结 EF HF (1) 如图 1, 若点 H 是 AC 的中点,AC=*3^(1/), 求 AB BD 的长 ; () 如图 1, 求证 :HF=EF; 如图, 连结 CF CE, 猜想 : CEF 是否是等腰三角形? 若是, 请证明 ; 若不是, 请说明理由 分析 (1) 根据直角三角形的性质和三角函数即可得到结果 ; () 如图 1, 连接 AF, 证出 DAE ADH, DHF AEF, 即可得到结果 ; (3) 如图, 取 AB 的中点 M, 连接 CM,FM, 在 Rt ADE 中,AD=AE, 根据三角形的中位线的性质得到 AD=FM, 于是得到 FM=AE, 由 CAE= CAB=30 CMF= AMF-AMC=30, 证得 ACE MCF, 问题 即可得证. 解答 解 :(1) ACB=90, BAC=60, ABC=30, AB=AC= =4, AD AB, CAB=60, DAC=30, AH= AC=, AD= =, BD= = ; 79

80 () 如图 1, 连接 AF, AE 是 BAC 角平分线, HAE=30, ADE= DAH=30, 在 DAE 与 ADH 中,, DAE ADH, DH=AE, 点 F 是 BD 的中点, DF=AF, EAF= EAB- FAB=30 - FAB FDH= FDA- HDA= FDA-60 =(90 - FBA)-60 =30 - FBA, EAF= FDH, 在 DHF 与 AEF 中,, DHF AEF, HF=EF; (3) 如图, 取 AB 的中点 M, 连接 CM,FM, 在 Rt ADE 中,AD=AE, DF=BF,AM=BM, AD=FM, FM=AE, ABC=30, AC=CM= AB=AM, CAE= CAB=30 CMF= AMF- AMC=30, 在 ACE 与 MCF 中,, ACE MCF, CE=CF, ACE= MCF, ACM=60, ECF=60, CEF 是等边三角形. 80

81 例 17(016 年河南省中考第 3 题 ) 如图 1, 直线 y=-4/3*x+n 交 x 轴于点 A, 交 y 轴于点 C(0,4), 抛物线 y=/3*x^+b*x+c 经过点 A, 交 y 轴于点 B(0, -). 点 P 为抛物线上一个动点, 经过点 P 作 x 轴的垂线 PD, 过点 B 作 BD PD 于点 D, 连接 PB, 设点 P 的横坐标为 m. (1) 求抛物线的解析式 ; () 当 BDP 为等腰直角三角形时, 求线段 PD 的长 ; (3) 如图, 将 BDP 绕点 B 逆时针旋转, 得到 BD P, 且旋转角 PBP = OAC, 当点 P 的对应点 P 落在坐标轴上时, 请直接写出点 P 的坐标. 解答 (1) 将点 C 代入直线 y=-4/3*x+n, 得 n=4. 所以 y=-4/3*x+4, 求得 A(3,0) * b c 抛物线 y=/3*x^+b*x+c 经过点 A(3,0) B(0,-),, 得 c b=-3/4,c=-. 抛物线的解析式为 y=/3*x^-4/3*x- () 点 P 的横坐标为 m, P(m,/3*m^-4/3*m-), 若 BDP 为等腰直角三角形, 则 PD=BD. 1 当点 P 在直线 BD 上方时,PD=/3*m^-4/3*m. (I) 若点 P 在 y 轴左侧, 则 m<0,bd=-m. /3*m^-4/3*m=-m, m1=0( 舍去 ),m=1/( 舍去 ). (II) 若点 P 在 y 轴右侧, 则 m>0,bd=m. /3*m^-4/3*m=m, m1=0( 舍去 ),m=7/. 当点 P 在直线 BD 下方时,m>0,BD=m,PD=-/3*m^+4/3*m. -/3*m^+4/3*m=m, m1=0( 舍去 ),m=1/. 81

82 综上,m=7/ 或 1/. 即当 BDP 为等腰直角三角形,PD 的长为 7/ 或 1/. ( 3 ) 点 P 的坐标为 ( 5/9,11/3 ) (5^(1/), (4-4*5 ^(1/))/3) 或 (-5^(1/),(4+4*5^(1/)) Rt AOC 的三边比是 3:4:5. 1 当点 P 落在 x 轴上时, 过点 D 作 D N x 轴, 垂足为 N, 交 BD 于点 M, DBD = ND P = PBP. 如图 1,ND - MD =, 即 /3*(/3*m^-4/3*m)-(-4/5*m)=. 如图,ND + MD =, 即 /3*(/3*m^-4/3*m)+(-4/5*m)=. P1(4-4*5 ^(1/))/3) P(-5^(1/),(4+4*5^(1/)) 当点 P 落在 y 轴上时, 如图 3, 过点 D 作 D M x 轴, 交 BD 于点 M, 过 点 P 作 P N y 轴, 交 MD 的延长线于点 N, DBD = ND P = PBP. P N=BM, 即 m4/5*(/3*m^-4/3*m)=3/5*m P3(5/9,11/3). 8

83 例 18(016 年山西省中考第 3 题 ) 如图, 在平面直角坐标系中, 已知抛物线 y=a*x^+b*x-8 与 x 轴交于 A,B 两点, 与 y 轴交于点 C, 直线 l 经过坐标原点 O, 与抛物线的一个交点为 D, 与抛物线的对称轴交于点 E, 连接 CE, 已知点 A D 的坐标分别为 (-,0),(6,-8). (1) 求抛物线的函数表达式, 并分别求出点 B 和点 E 的坐标 ; () 试探究抛物线上是否存在点 F, 使 FOE FCE, 若存在, 请直接写出点 F 的坐标 ; 若不存在, 请说明理由 ; (3) 若点 P 是 y 轴负半轴上的一个动点, 设其坐标为 (0,m), 直线 PB 与直线 l 交于点 Q. 试探究 : 当 m 为何值时, OPQ 是等腰三角形. 解答 4* a * b 8 0 (1) 抛物线 y=a*x^+b*x-8 经过点 A(-,0),D(6,-8), 36* a 6* b 8 8 解得 a=1/,b=-3; 抛物线的函数表达式为 y=1/*x^-3*x-8; y=1/*x^-3*x-8=1/*(x-3)^-5/, 抛物线的对称轴为直线 x=3, 又 抛物线与 x 轴交于 A,B 两点, 点 A 的坐标为 (-,0), 点 B 的坐标为 (8,0); 设直线 l 的函数表达式为 y=k*x. 点 D(6,-8) 在直线 l 上, 6k=-8, 解得 k=-4/3. 直线 l 的函数表达式为 y=-4/3*x. 点 E 为直线 l 和抛物线对称轴的交点. 点 E 的横坐标为 3, 即点 E 的坐标为 (3,-4). 83

84 () 当点 F 在 OC 的垂直平分线上时, 抛物线上存在点 F, 使 FOE FCE. 即 1/*x^-3*x-8=-4, 所以点 F 的坐标为 (3+17^(1/),-4) 或 (3-17^(1/),-4). (3) 作 QH x 轴于 H. 在 OQH 中,OH=3*n,QH=4*n,OQ=5*n. 由 QH/PO=BH/BO 得 4*n/(-m)=(8-3*n)/8. 解得 n=8*m/(3*m-3). 所以 OQ=5*n=40*m/(3*m-3). 在 POQ 中, OP=-m,OQ=40*m/(3*m-3),cos POQ=4/5. 1 当 OP=OQ 时, 解方程 -m=40*m/(3*m-3), 得 m=-8/3; 当 QO=QP 时,1/*OP=4/5*OQ. 解方程 -1/*m=4/5*40*m/(3*m-3), 得 m=-3/3. 3 当 PO=PQ 时,1/*OQ=4/5*OP. 解方程 1/*40*m/(3*m-3)=-4/5*m, 得 m=7/3( 舍去 ). 84

85 第三部分 因动点产生的直角三角形问题 例 1(008 年河南省中考第 3 题 ) 如图 1, 直线 y=-4/3*x+4 和 x 轴 y 轴的交点分别为 B C, 点 A 的坐标是 (-,0). (1) 试说明 ABC 是等腰三角形 ; () 动点 M 从 A 出发沿 x 轴向点 B 运动, 同时动点 N 从点 B 出发沿线段 BC 向点 C 运动, 运动的速度均为每秒 1 个单位长度, 当其中一个动点到达终点时, 他们都停止运动, 设 M 运动 t 秒时, MON 的面积为 S. 1 求 S 与 t 的函数关系式 ; 设点 M 在线段 OB 上运动时, 是否存在 S=4 的情形? 若存在, 求出对应 t 的值 ; 若不存在, 请说明理由 ; 3 在运动过程中, 当 MON 为直角三角形时, 求 t 的值. 解答 (1) 当 x 0 和 x 4 时, y 的值相等, c 16 a 4b c, b -4a b 4a, x a a 将 x 3代入 y 4x 16, 得 y 4, 将 x 代入 y 4x 16, 得 y 8 设抛物线的解析式为 y a( x ) 8 将点 ( 3, 4) 代入, 得 4 a ( x ) 8, 解得 a 4. 抛物线 y 4( x ) 8, 即 y 4x 16x 8 () 设直线 OM 的解析式为 y kx, 将点 M (, 8) 代入, 得 k 4, y 4x 则点 P ( t, 4t), PQ 4t, 而 OC 8, OQ t. 85

86 S SCOQ SOPQ = t t 4t t 4t t 的取值范围为 : 0 <t. (3) 随着点 p 的运动, 四边形 PQCO 的面积 S 有最大值. 从图像可看出, 随着点 p 由 O M 运动, COQ 的面积与 OPQ 的面积在不断增大, 即 S 不断变大, 显当然点 P 运动到点 M 时, S 最值 此时 t 时, 点 Q 在线段 AB 的中点上 1 1 因而 S 当 t 时, OC MQ 8, OC MQ, 四边形 PQCO 是平行四边形. 8 (4) 随着点 P 的运动, 存在 t 17, 能满足 PO OC 17 设点 P( t, 4t), PQ 4t, OQ t. 由勾股定理, 得 OP ( 4t) t 17t. PO OC, 17t 8, t <, 8 t ( 不合题意 ) 8 当 t 17 时, PO OC 17 86

87 例 (008 年天津市中考第 5 题 ) 已知 Rt ABC 中, ACB=90,CA=CB, 有一个圆心角为 45, 半径的长等于 CA 的扇形 CEF 绕点 C 旋转, 且直线 CE, CF 分别与直线 AB 交于点 M,N. (1) 当扇形 CEF 绕点 C 在 ACB 的内部旋转时, 如图 1, 求证 : MN^=AM^+BN^; 思路点拨 : 考虑 MN^=AM^+BN^ 符合勾股定理的形式, 需转化为直角三角形中解决. 可将 ACM 沿直线 CE 对折, 得 DCM, 连 DN, 只需证 DN=BN, MDN=90 就可以了. 请你完成证明过程. () 当扇形 CEF 绕点 C 旋转至图 的位置时, 关系式 MN^=AM^+BN^ 是否任然成立? 若成立, 请证明 ; 若不成立, 请说明理由. 解答 (Ⅰ) 证明将 ACM 沿直线 CE 对折, 得 DCM, 连 DN, 则 DCM ACM. 有 CD CA, DM AM, DCM ACM, CDM A. C 又由 CA CB, 得 CD CB. 由 DCN ECF DCM 45 DCM, BCN ACB ECF ACM ACM 45 ACM, A M E D N F B 得 DCN BCN. 又 CN CN, CDN CBN. 有 DN BN, CDN B. MDN CDM CDN A B 90. 在 Rt MDN 中, 由勾股定理, 得 MN DM DN. 即 MN AM BN. (Ⅱ) 关系式 MN AM BN 仍然成立. 87

88 证明将 ACM 沿直线 CE 对折, 得 GCM, 连 GN, 则 GCM ACM. C 有 CG CA, GM AM, GCM ACM, CGM CAM. 又由 CA CB, 得 CG CB. 由 GCN GCM ECF GCM 45, M G E A F N B BCN ACB ACN 90 ( ECF ACM) 45 ACM. 得 GCN BCN. 又 CN CN, CGN CBN. 有 GN BN, CGN B 45, CGM CAM 180 CAB 135, MGN CGM CGN 在 Rt MGN 中, 由勾股定理, 得 MN GM GN. 即 MN AM BN. 88

89 例 3(009 年嘉兴市中考第 4 题 ) 如图 1, 已知 A B 是线段 MN 上的两 点,MN=4,MA=1,MB>1. 以 A 为中心顺时针旋转点 M, 以 B 为中心逆时针旋 转点 N, 使 M N 两点重合成一点 C, 构成 ABC, 设 AB=x. (1) 求 x 的取值范围 ; () 若 ABC 为直角三角形, 求 x 的值 ; (3) 探究 : ABC 的最大面积? 解答 (1) 在 ABC 中, AC 1, AB x, BC 3 x. 1 x 3 x 1 3 x x, 解得 1 x. ()1 若 AC 为斜边, 则 1 x (3 x), 即 x 3x 4 0, 无解. 5 若 AB 为斜边, 则 x (3 x) 1, 解得 x, 满足 1 x 若 BC 为斜边, 则 ( 3 x) 1 x, 解得 x, 满足 1 x. 3 5 x 3 4 或 x. 3 (3) 在 ABC 中, 作 CD AB 于 D, 1 设 CD h, ABC 的面积为 S, 则 S xh. 1 若点 D 在线段 AB 上, 则 1 h (3 x) h x. M C A D B N ( 第 4 题 -1) ( 3 x) h x x 1 h 1 h, 即 x 1 h 3x 4. x (1 h ) 9x 4x 16, 即 x h 8x 4x S x h x 6x 4 ( x ) ( 4 x )

90 3 4 当 x 时 ( 满足 x ), 1 S 取最大值, 从而 S 取最大值 3. 若点 D 在线段 MA 上, 则 ( 3 x) h 1 h x. C 1 同理可得, S x h x 6x ( x ) ( 1 x ), 3 易知此时 S. M D A B ( 第 4 题 -) N 综合 1 得, ABC 的最大面积为. 90

91 例 4(010 年北京市中考第 4 题 ) 在平面直角坐标系 xoy 中, 抛物线 y=-(m-1)/4*x^+5*m*4*x+m^-3*m+ 与 x 轴的交点分别为原点 O 和点 A, 点 B (,n) 在这条抛物线上. (1) 求点 B 的坐标 ; () 点 P 在线段 OA 上, 从点 O 出发向点 A 运动, 过点 P 作 x 轴的垂线, 与直线 OB 交于点 E, 延长 PE 到点 D, 使得 ED=PE, 以 PD 为斜边, 在 PD 为斜边, 在 PD 右侧作等腰直角三角形 PCD( 当点 P 运动时, 点 C D 也随之运动 ). 1 当等腰直角三角形 PCD 的顶点 C 落在此抛物线上时, 求 OP 的长 ; 若点 P 从点 O 出发向 A 作匀速运动, 速度为每秒 1 个单位, 同时线段 OA 上另一个点 Q 从点 A 出发向点 O 作匀速运动, 速度为每秒 个单位 ( 当点 Q 到达点 O 时停止运动, 点 P 也停止运动 ). 过 Q 作 x 轴的垂线, 与直线 AB 交于点 F, 延长 QF 到点 M, 使得 FM=QF, 以 QM 为斜边, 在 QM 的左侧作等腰直角三角形 QMN( 当点 Q 运动时, 点 M N 也随之运动 ). 若点 P 运动到 t 秒时, 两个等腰直角三角形分别有一条边恰巧落在同一条直线上, 求此刻 t 的值. 解答 (1) 抛物线 y= - x + x+m -3m+ 经过原点, m -3m+=0, 解得 m1=1,m=, 由题意知 m 1, m=, 91

92 抛物线的解析式为 y= - x + x, 点 B(,n) 在抛物线 y= - x + x 上, n=4, B 点的坐标为 (,4). () 设直线 OB 的解析式为 y=k1x, 求得直线 OB 的解析式为 y=x, A 点是抛物线与 x 轴的一个交点, 可求得 A 点的坐标为 (10,0), 设 P 点的坐标为 (a,0), 则 E 点的坐标为 (a,a), 根据题意作等腰直角三角形 PCD, 如图 1, 可求得点 C 的坐标为 (3a,a), 由 C 点在抛物线上, 得 :a=- (3a) + 3a, 即 a - a=0, 解得 a1=,a=0( 舍去 ), OP=. 依题意作等腰直角三角形 QMN, 设直线 AB 的解析式为 y=kx+b, 由点 A(10,0), 点 B(,4), 求得直线 AB 的解析式为 y= - x+5, 当 P 点运动到 t 秒时, 两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上, 有以下三种情况 : 第一种情况 :CD 与 NQ 在同一条直线上. 9

93 如图 所示. 可证 DPQ 为等腰直角三角形. 此时 OP DP AQ 的长可依次表示为 t 4t t 个单位. PQ=DP=4t, t+4t+t=10, t=. 第二种情况 :PC 与 MN 在同一条直线上. 如图 3 所示. 可证 PQM 为等腰直角三角形. 此时 OP AQ 的长可依次表示为 t t 个单位. OQ=10-t, F 点在直线 AB 上, FQ=t, MQ=t, PQ=MQ=CQ=t, t+t+t=10, t=. 第三种情况 : 点 P Q 重合时,PD QM 在同一条直线上, 如图 4 所示. 此时 OP AQ 的长可依次表示为 t t 个单位. t+t=10, t=. 综上, 符合题意的 t 值分别为,, 93

94 94

95 例 5(011 年沈阳市中考第 5 题 ) 如图 1, 已知抛物线 y=x^+bx+c 与 x 轴交于 A B 两点 ( 点 A 在点 B 左侧 ), 与 y 轴交于点 C(0,-3), 对称轴是直线 x=1, 直线 BC 与抛物线的对称轴交于点 D. (1) 求抛物线的函数表达式 ; () 求直线 BC 的函数表达式 ; (3) 点 E 为 y 轴上一动点,CE 的垂直平分线交 CE 于点 F, 交抛物线于 P Q 两点, 且点 P 在第三象限. 1 当线段 PQ=3/4*AB 时, 求 tan CED 的值 ; 当以 C D E 为顶点的三角形是直角三角形时, 请直接写出点 P 的坐标. 解答 ⑴ 抛物线的对称轴为直线 x=1, b b 1 a 1 b=-. 抛物线与 y 轴交于点 C(0,-3), c=-3, 抛物线的函数表达式为 y=x -x-3. ⑵ 抛物线与 x 轴交于 A B 两点, 当 y=0 时,x -x-3=0. x1=-1,x=3. A 点在 B 点左侧, A(-1,0),B(3,0) 95

96 设过点 B(3,0) C(0,-3) 的直线的函数表达式为 y=kx+m, 0 3k m k 1 则, 3 m m 3 直线 BC 的函数表达式为 y=x-3. ⑶1 AB=4,PO= 3 4 AB, PO=3 PO y 轴 1 PO x 轴, 则由抛物线的对称性可得点 P 的横坐标为, P( 1, 7 ) 4 y 1 A O E P F G C 1 D Q B x x=1 F(0, 7 ), FC=3-OF= = 5 4. PO 垂直平分 CE 于点 F, CE=FC= 5 点 D 在直线 BC 上, 当 x=1 时,y=-, 则 D(1,-). 过点 D 作 DG CE 于点 G, DG=1,CG=1, GE=CE-CG= 5-1= 3. GD 在 Rt EGD 中,tan CED= EG 3. P1(1-,-),P(1-6, 5 ). 96

97 例 6(011 年温州市中考第 4 题 ) 如图 1, 在平面直角坐标系中,O 是坐标原点, 点 A 的坐标为 (-4,0), 点 B 的坐标为 (0,b)(b>0).P 是直线 AB 上的一个动点, 作 PC x 轴, 垂足为 C. 记点 P 关于 y 轴的对称点为 P ( 点 P 不在 y 轴上 ), 连结 PP P A P C. 设点 P 的横坐标为 a. (1) 当 b=3 时,1 求直线 AB 的解析式 ; 若点 P 的坐标是 (-1,m), 求 m 的值 ; () 若点 P 在第一象限, 记直线 AB 与 P C 的交点为 D. 当 P D:DC=1:3 时, 求 a 的值 ; (3) 是否同时存在 a b, 使 P CA 为等腰直角三角形? 若存在, 请求出所有满足要求的 a b 的值 ; 若不存在, 请说明理由. 解答 (1)1 设直线 AB 的解析式为 y=kx+3, 把 x=-4,y=0 代入得 :-4k+3=0, k=3/4, 直线的解析式是 :y=3/4x+3, 由已知得点 P 的坐标是 (1,m), m=3/4 1+3=15/4; () PP' AC, PP'D ACD, P'D/DC=P'P/CA, 即 a/(a+4)=1/3, a=4/5; (3) 以下分三种情况讨论. 97