萧声隽

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1 Vol.19, o.9 p., 2017 第 19 卷 第 9 期 2017 年 9 月 引用格式 萧声隽,宗真,项丽燕,等.多粒度时空对象空间关系的统一表达与计算[J].地球信息科学学报,2017,19(9: [ Xiao J, Zog Z, Xiag L Y, t al Th uifid xprio ad calculatio of patial rlatiohip of patio-tmporal objct of multi-graularity. Joural of Go-iformatio cic, 19(9: ] DOI: /P.J 多粒度时空对象空间关系的统一表达与计算 萧声隽 1,2 宗 真 1,2 项丽燕 1,2 胡 勇 1,2,3* 1. 南京师范大学地理科学学院 南京 南京师范大学 虚拟地理环境教育部重点实验室 南京 南京师范大学计算机科学与技术学院 南京 Th Uifid xprio ad Calculatio of patial Rlatiohip of patio-tmporal Objct of Multi-graularity XIAO hgjua1, ZOG Zh1,2, XIAG Liya1,2 ad HU Yog1,2,3* 1. chool of Gographic cic, ajig ormal Uivrity, ajig , Chia; 2. Ky Laboratory of Virtual Gographic viromt, Miitry of ducatio, ajig ormal Uivrity, ajig ,Chia; 3. chool of Computr cic ad Tchology, ajig ormal Uivrity, ajig , Chia Abtract patial rlatiohip play a importat rol i patial qury laguag, data rtrival ad patial aalyi. Hovr, th currt rarch of patial rlatio ar hard to raliz th uifid xprio ad calculatio of patio- tmporal objct of multi- graularity. I thi papr, th patial rlatiohip computig oprator of th impl objct ar digd bad o th typ- idpdc ad dimio- idpdc charactritic of GA oprator. Th oprator ar th gralizd to patio- tmporal objct of multigraularity by th uio oprator. Latly, ralizd th uifid xprio ad calculatio of thr kid of patial rlatiohip for th patio-tmporal objct of multi-graularity udr th framork of pa-patial GI. Th triagulatio itrctio algorithm i raid a a xampl to prov th rliability of our mthod. Our rarch alo provid th rfrc for xprio ad calculatio of patial rlatiohip i pa-patial GI. Ky ord: patio-tmporal objct of multi-graularity; GI; patial rlatio; gomtry ad algbra *Corrpodig author: HU Yog, -mail: huyog@ju.du.c 摘要 空间关系表达了空间数据的相互约束 在空间查询语言 数据检索及空间分析中具有重要作用当前关于空间关系的 研究 多基于简单地理对象 或者只对某一种空间关系进行独立的算法设计 难以满足多粒度对象多种空间关系的统一表达 与计算为此 本文利用几何代数运算的对象无关性和维度无关性 构建简单对象空间关系计算算子 并将其推广到多粒度 对象 实现全空间地理信息系统框架下多粒度对象三种空间关系的一体化表达与计算最后 以三角网求交算法为例 证明 了算法的可行性 为全空间 GI 中空间关系的表达和计算提供了借鉴 关键词 多粒度时空对象 GI 空间关系 几何代数 1 引言 关系 是进行空间数据组织 顾及空间特征的查询 分析与推理的基础 [1]ghofr 等 Clmtii 等 空间关系主要包括度量关系 方位关系 拓扑 在点集拓扑学基础上提出九交模型及维度扩张的 收稿日期 修回日期 基金项目 国家重点研发计划项目 2016YFB 国家自然科学基金项目( 作者简介 萧声隽(1986- 男 博士生 主要从事 GI 算法及其应用研究-mail: xiaohgju@126.com *通讯作者 胡 勇(1973- 博士 讲师 主要从事计算机算法研究-mail: huyog@ju.du.c

2 9 期萧声隽等 : 多粒度时空对象空间关系的统一表达与计算 1179 九交模型 [2-3] ; 陈军等基于 Vorooi 图提出的 V9I 模 型 [4] ; 廖士中等提出闭球模型等来描述空间拓扑关系 [5] ; 邓敏等提出顾及目标中心分布趋势的广义 Haudorff [6] 距离度量模型 描述方位关系用得最多的是 MBR( 最小外接矩形 模型 CDR( 三角 模型, 但它 们存在定义上的漏洞和计算结果的错误 [1] 粒度是空间数据和时间数据的固有本质 [7], 随 着 GI 应用领域的不断扩大, 单粒度对象已经不能 满足人们对复杂现实时间从微观到宏观的表达需 求多粒度时空实体的提出就是源于时空实体在不 同需求下的不同空间尺度表达, 在计算机构建的信 息世界中对多粒度时空实体的具体描述即为多粒 度时空对象, 是一种对现实世界的具体抽象方法 [8] [9] 针对全空间信息系统中多粒度时空对象多元 多 维度 多尺度 多参照系 多时态 多形态交叠的多 模态特征 [8], 以上模型难以满足复杂的多粒度时空 对象间空间关系的一体化表达与计算, 难以满足现 实复杂对象间空间关系分析需求本文采用具有 坐标无关性的几何代数方法 [10-11], 利用其基于多重 向量对多维对象统一表达层次体系, 实现全空间地 理信息系统框架下多粒度时空对象维度信息与度 量 拓扑与方位信息的统一描述与计算 2 空间关系定义 空间关系用于描述空间实体之间度量 方位 拓扑等方面的关系拓扑关系描述的是空间实体 之间的邻接 关联和包含关系以区域连接演算 (RCC 定义的 8 种可能的对象之间的基本拓扑关系 为例, 其拓扑关系包括 : ì C, ü ta gtial Pr oprpart( TPP, otagtial Pr oprpart( TPP, Vt = í ý partiallyovrlappig( PO, qual( Q, ta gtial Pr oprparti vr ( TPPi, îotagtial Pr oprparti vr ( TPPi þ (1 di c octd ( DC, xtrallycoctd ( 任意对象之间的空间拓扑关系是上述 8 种基本 拓扑关系的组合面向多粒度时空对象的拓扑关 系表达, 可以定义更为精细的拓扑关系, 利用多重 空间关系表达模型实现 Vt 值域集合的拓展对于 给定的多粒度时空对象, 其拓扑关系可用图 1 表示 空间方位关系将空间分为适用于所有空间实 图 1 多重空间关系表达 Fig. 1 Th xprio of multipl patial rlatiohip 体的一组方向或角度空间方位关系可以利用 Frak 基本方位演算 (Cardial Dirctio Calculu, CDC 来表示基本方位演算将空间分为 4 个或者 8 个方位, 并且引入了一个额外的 方位, 代表 2 个空间实体之间没有方位信息, 即两个空间实体在同一个位置或者距离非常近方位关系的基本运算包括反演和组合与 RCC 类似, 基本方位演算 (CDC 也可以将所有可能的组合运算映射到一个矩阵表中表 1 为基本方位演算在二维空间中的 8 个基本方向之间的组合运算表, 并且约定, 大写字母表示精确的方位关系, 小写字母表示近似的方位关系表 1 方位关系的组合推理规则表 Tab. 1 Th rul tabl of th ifrc of combiatio of th poitio rlatio 度量关系是通过在空间中定义度量的基础上, [12] 采用某种度量指标来描述目标间的远近关系 在几何空间中, 度量空间主要有长度 面积等, 以上度量关系一般可通过形式简单的数学公式求解在 GI 中, 根据地理学研究的内涵, 所关注的度量关系主要是两地理对象间的空间距离, 可用 Rm(A B R 表示, 其中 R 表示地理对象 A 和 B 之间的距离常用的如欧氏距离 曼哈顿距离 契比雪夫距离等随着空间统计学的发展, 斜交距离和马氏距离等具 [4] 有显著统计学意义的度量关系也逐步得到重视

3 1180 地球信息科学学报 2017 年 3 地理对象空间关系的几何代数表达 在几何代数中, 空间被定义为向量集合间的运 算, 空间维数直接由运算法则确定 [13], 几何代数通 过 blad 和多重向量等基本元素表达简单几何对 象, 通过对上述简单对象的组合运算即可得到复杂 对象的几何代数表达 [14] 由于上述简单对象与复 杂对象具有共通的表达结构 存储结构和属性特 征, 即可实现从基本元素到简单地理对象到复杂时 空对象空间关系的推导, 如图 2 所示 图 2 简单对象间和复杂对象间的空间关系推导过程 Fig. 2 Th drivatio of patial rlatio of impl objct ad complx objct 复杂时空对象可视为多个单维度简单地理对 象的组合, 则空间关系亦可视为多维对象各组分之 间空间关系的一种组合表达故而在简单对象间 空间关系的几何代数表达基础上, 可构建几何代数 空间中对复杂时空对象空间关系的统一表达 [15] 3.1 基于几何代数的空间关系求解 在几何代数框架中对象表达内蕴几何特征, 可 [14] 直接利用算子计算对象间空间关系 两对象 blad 表达内积的几何意义是两对象的距离, 故而可 利用内积运算进行度量关系的求解 ; 对象的方位关 系可转化为其在基准方位上的距离的投影, 可通过 距离运算变相求解 ; 对象间的拓扑关系则可利用表 达对象交关系的 mt 算子进行求解将各算子的 计算过程详细定义如下 : 给定两点的几何代数表达 P 和, 两点间的距离可 通过内积求解 P = p - 1/2 2-1/2p 2 = -1/2 ( - p 2, 其中 p 和 为两点的欧氏空间表达,(-p 2 即为两 简单几何对象欧氏距离的平方值在 GI 中, 方 位表示地理对象间的方位角, 则方位算子为 co θ = P P, P 分别为两对象的模, 则式子 表示用于求解几何代数对象间的夹角 ; 如果定义 P 为基准方位, 则通过式子可求得 与基准方位的夹 角对象间的拓扑关系可通过 mt 算子求解,mt 算子的几何意义是两几何对象的交, 即两对象间所 共有的最大子空间, 通过对该最大子空间的判断可 得到对象间的拓扑关系 [16] 给定两几何对象 A 和 B, 其 mt 运算 M = A B 可通过式 (2 定义 : x:[x M = 0] { x A = 0 x B = 0 (2 根据拓扑关系的定义可知, 可直接通过对求交 结果的考查, 得到对象间的拓扑关系例如, 假定 A 和 B 为线对象和面对象, 当 M 2 >0 时, 两对象相交 ; 当 M 2 =0 时, 两对象相切 ; 当 M 2 <0 时, 两对象相离 [17] 3.2 复杂对象空间关系表达 在 GI 应用中, 几何对象多具有固定边界, 空 间关系的求解也需要顾及到所有的边界点由于 度量关系与方向关系本身的有序性, 可通过一固定 区间对其加以表达, 而省略区间内部各边界点的度 量和方位值 ; 拓扑关系的求解则需要同时考虑对象 边界间的相对关系 (1 方位关系表达 对于复杂对象, 其在空间关系运算中多表达为 一个区域, 如图 3 所示点 A 与线段 的空间方 位关系可表示为一个区间 :α(a, =[α(a,, α(a, ] =[α,β] 首先探讨点 A 与区域 B 方位关系 的表达, 对于点 A 而言, 区域 B 只有折线,B 7, B 6B 7 部分是可视的, 而点 A 与不可视部分的折线的 方位角必将落在点 A 与可视区域折线方位角之内, 即点 A 与不可视区域的点 B i 连线必与可视区域折线 相交则点 A 与区域 B 的方位关系表示为式 (3 α(a, B =[α(a,,α(a, ] [α(a,,α(a,b 3 ] [α(a,b - 1,α(A,B ] (3 [α(a,b,α(a, ] =[α,β] 图 3 点与区域的方位关系 Fig. 3 Oritatio rlatiohip of poit ad rgio

4 9 期萧声隽等 : 多粒度时空对象空间关系的统一表达与计算 1181 区域 A(A 1,,, A m 与区域 B(,,, B 的 空间方位关系可按组分层级分解, 区域与区域即可 视为多点与区域空间方位关系的扩展其方位关 系可以表示为式 (4, B =,,,B = j = 1 =[α 1,β 1 ] [α 2,β 2 ] [α,β ] = j = 1 [α i,β j ] =[α,β] (2 度量关系表达 (4 同理, 得到点 A 与区域 B 的空间度量关 系表示为式 (5 æmax(m(a,b,m(a, B, ö ç m(a, B = ç m(a, B 3,,m(A,B - 1 B çmi(m(a,b,m(a, B, ç èm(a, B 3,,m(A,B - 1 B ø (5 区域与区域的度量关系亦可视为点与区域度 量关系的一种拓展如图 4 所示, 图中区域 A 与区 域 B 的度量关系, 可用其各组分之间的度量关系来 表达, 一般用其最大值和最小值表示 A 1 与 B 的可视边界 B 5B 6 之间的空间度量关系, 则它们 的度量关系可表示为式 (6 t(a 1, B = t(a 1, t(a 1, t(a 1,B (7 t(a i m = j = 1 t(a 1 = i = 复杂对象空间关系一体化表达 j = 1 通过上述定义可知, 复杂对象的空间关系可利 用几何代数算子统一表达, 则可定义复合算子实现 不同类型空间关系的一体化表达对于相同维复 杂对象 A B, 定义 A i B j 分别为构成 A B 两对象中第 i j 个子对象, 首先对各子对象之间的空间关系 <A i, B j> 进行计算, 然后合并 3 种空间关系, 即可利用算 子的组合实现同维复杂对象间的空间关系的求解, 形式化表达如式 (8 所示 < A,B >=< A1, > < A i > < A m,b m > (8 如果 A B 分别为 m 维的两不同维度几何对 象, 则将多维对象按照不同维度分成 0 维 1 维 2 维 维等子对象,A i B j 分别为构成 A B 两对象 中第 i j 个子对象, 可求得各子对象之间的空间关系 <{A i}>, 从而得到不同维复杂对象之间的空间关 系结果, 其形式化表达如式 (9 所示 < A,B >=<{A 1, } > <{A i } > <{A m,b } > (9 4 三维小区空间关系统一求解实例 图 4 区域与区域的空间关系 Fig. 4 patial rlatiohip of rgio ad rgio m(a 1 A 5, B 3 B 4 B 5 B 6 = m(a 1, B 6 B 5 = m(a 1,, (6,B 6,B 5 = m(a 1, m(a 1, m(,b 5 =[mi(,,max(, ] =[c,d ] (3 拓扑关系表达对象 A(A 1,,,A m 与对象 B(,,, B m 的空间拓扑关系亦可视为两对象各组分之间拓扑关系的扩展, 表达为式 (7 基于三角形表达与运算的理论和算子, 设计相 关的数据结构与计算算法首先将三维小区建筑 数据转换到几何代数空间, 需要进行维度映射与几 何代数空间转换 ; 然后利用区域对象几何代数求交 方法 [18-19], 基于本文所提出的几何对象计算算子与 关系判断算子进行空间关系的求解 首先基于 CGA 的矢量数据模型, 构造三维建 筑物的表达模式, 如图 5 所示 多重向量集合 MV i 可视为构成该三维建筑的多 个三角形 T i 的集合, 利用几何代数对简单对象的表 达, 根据三角形 T i 边界可将其约束分解为点 线段 与三角形, 实现层次组织构建基于几何代数的对 象表达模型后, 给定两三维建筑对象 A,B, 其基于三 角形的表达为式 (10 { A = T 1 + T 2 + T m B = T 1 + T 2 + T m (10

5 1182 地球信息科学学报 2017 年 基于三角形与直线的层次构建关系, 可将上式 改写为如下形式 ( 式 (15 A B = T 1 T 2 *{ 1 2 *[ 1 *(l 11 + l *(l 11 l 22 + l 22 1 *(l 23 l 11 + l 23 l 12 + l 23 l 12 ]} (15 图 5 基于多重向量形式的三角网对象表达 Fig. 5 xprio of triagl mh objct bad o th multipl vctor 其中 T i 表示用于构建三维建筑对象的三角形, 其共形几何代数表达为式 (11 T i =[A 1 ] < A 1,,C 1 > = A 1 [A 1 ] < A 1,C 1 > [A 1 ] (11 < A 1, > [ ] <,C 1 >= 1 l 11 l 12 l 13 根据三维建筑物对象中各三角形及其层次组分对象的几何代数表达, 其三类空间关系可通过式 (12-(14 求解为了简化表达, 距离和角度均通过三维建筑物对象的质心求解 (1 距离关系计算, 给定两三维建筑对象, 其质心分别为 P 1,P 2 则其距离关系为式 (12 d(p 1,P 1 = -2P 1 P 2 (12 点 P 与点 的方位关系由方位算子 co θ = P 1 P 2 P 1 P 2 ; (2 角度关系计算, 给定两三维建筑对象, 其质心分别为 P 1, P 2, 则其相对角度关系为式 (13 θ = arcco æ è ç P 1 P 2 ö (13 P 1 P 2 ø (3 拓扑关系计算, 由于三维建筑具有层次构造结构, 可将其拓扑关系的求解分为不同的层次, 即首先对三维建筑所在的维度范围进行预判断, 进而利用上述区域三角形求交的空间关系判定方法, 构造相应的判定算子对其空间拓扑关系进行求解 ( 式 (14 A B = l l l l 13 + l 11 + l 11 + l 11 (14 l 23 l 23 l 21 l 23 + T 1 T 式中 : * 为 judg 算子, 用于连接两几何代数运算, 其代数意义为 : 当 * 左侧满足一定要求时, 右侧才进行运算式 (15 表明在求解过程中, 可先利用求交算子的符号对其相交关系进行初步判断, 筛选去除 M 2 <0 的结果 ( 见 3.1 节, 然后利用上文所提出的区域求交的空间关系判定方法对其空间关系进行求解, 最后求得三角形各要素的相交情况图 6 为基于上述统一求解方法设计的空间关系求解算法的分析结果图 6(a 为用于参与计算的原始三维小区数据 ; 图 6(b 为进行空间关系计算的对象参数选择界面 ; 图 6(c 为计算得到的距离和角度结果, 其中距离用蜘蛛图表示, 角度用向量表达 ; 图 6(d 为拓扑关系计算结果, 左图为 mt 计算结果, 右图为最终求得的拓扑关系 5 结论 度量关系 拓扑关系与方位关系是最基本的空间关系, 它们从不同角度相互制约约束, 共同刻画了空间关系的特性本文探讨了基于几何代数形式化表达的空间关系运算的构建流程, 简化了现有 GI 空间关系运算的结构复杂性, 提升了 GI 空间关系运算的多维统一性与自适应性, 实现了复杂时空对象间三类空间关系的统一描述与计算, 提高了对复杂地理对象空间关系描述的计算精度构建的空间关系算子集和算法库, 设计空间关系运算逻辑表达, 完善和改进现有空间关系计算方法, 地理对象表达与关系计算结合的新途径可为多粒度时空对象的建模与分析提供借鉴并通过基于三维场景中建筑物的空间关系计算案例表明, 在几何代数统一框架下, 可以实现对多维复杂地理对象的空间关系表达与求解, 且逻辑结构清晰, 运算简洁高效, 可为多粒度时空对象建模表达, 对象间空间分析统一求解提供借鉴, 为全空间地理信息系统的发展提供新的理论基础

6 9期 萧声隽 等 多粒度时空对象空间关系的统一表达与计算 1183 图 6 基于三维小区数据的空间关系计算案例 Fig. 6 xampl of patial rlatio calculatio bad o th 3D houig tat data 参考文献(Rfrc: [ 6 ] 邓敏,李志林,陈晓勇.GI 空间目标的广义 Haudorff 距 [ 1 ] 廖楚江,杜清运.GI 空间关系描述模型研究综述[J].测绘 离模型[C]// 中国测绘学会第八次全国会员代表大会暨 科学,2004,29(4: [ Liao C J. Rvi o modl of 2005 年综合性学术年会论文集, 2005: [ Dg th dcriptio of GI patial rlatiohip[j]. cic of M, Li Z L, Ch X Y. A gralizd Haudorff ditac urvyig ad Mappig, 2004,29(4: ] modl for patial objct i GI[C]. Gomatic ad Ifor- [ 2 ] ghofr M J, Hrrig J R Catgorizig biary topo- matio cic of uha Uivrity, 2005: ] logical rlatiohip bt rgio, li ad poit i [ 7 ] 李阳东,韩震,童小华.一种顾及多粒度的时空数据模型 gographic data ba[a]. I: A Framork for th Dfi- [C]// 2009 国际信息技术与应用论坛论文集(下,2009. itio of TopologicalRlatiohip ad A Approach to [ patio- tmporal data modl of multi- graularity[c]. patial Raoig ithi thi Framork[C]. ata Bar Itratioal Forum o Iformatio Tchology ad bara,ca,199l:1-28 Applicatio, ] [ 3 ] Clmtii, Di F P, Ootmm P V. A mall t of formal [ 8 ] 华一新.全空间信息系统的核心问题和关键技术[J].测绘 topologicai rlatiohip uitabl for d-ur itractio. 科学技术学报,2016,33(4: [ Hua Y X, Th cor I: D.Abl ad B.C.Ooi(d. Advac i patial Data- problm ad ky tchologi of pa-patial iformatio ba[c]. York:prigr-Vrlag, 1993: ytm[j]. Joural of Gomatic cic ad Tchology, [ 4 ] 陈军,赵仁亮.GI 空间关系的基本问题与研究进展[J].测 2016,33(4: ] 绘 学 报,1999,28(2: [ Ch J, Zhao R L. patial [ 9 ] 周成虎.全空间地理信息系统展望[J].地理科学进展, rlatio i GI: A urvy o it ky iu ad rarch 2015,34(2: [ Zhou C H, Propct o pa- pa- progr[j]. Acta Godatica t Cartographica iica, tial iformatio ytm[j]. Progr i Gography, 2015, 1999,28(2: ] 34(2: ] [ 5 ] 廖士中,石纯一.拓扑关系的闭球模型及复合表的推导 [10] Yu Z, Luo, Yua L, t al. Gomtric algbra modl for [J].软件学报,1997(12: [ Liao Z, hi C Y. Clod gomtry- oritd topological rlatio computatio[j]. ball modl ad compoitio tabl drivatio for topological rlatio[j]. Joural of oftar, 1997,12: ] Traactio i GI, 2015,20(2: [11] Yua L, Yu Z, Luo, t al. Multidimioal-uifid to-

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