第30屆海洋工程研討會論文集電子檔

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畜江
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1 第 3 屆海洋工程研討會論文集國立交通大學 8 年月 Proeeding of the 3 th Oean Engineering Conferene in aiwan National Chiao ung University November 8 非陡斜坡底床上前進波之非線性 Eulerian 解與 Lagrangian 解間的轉換及波浪變形至碎波 /3) 陳陽益李孟學許弘莒 3 國立中山大學海洋環境及工程學系教授國立中山大學海洋環境及工程學系博士班研究生 3 國立成功大學水工試驗所助理研究員摘要對二度空間中前進在斜坡底床上的週期性規則表面重力波的問題本文以 Lagrangian 描述方法來對其做整體的解析將波浪場中各物理量以波浪尖銳度與底床坡度 α 進行雙參數攝動羃級數展開先把所有的控制方程式演化成一系統化的模式後再由之解析出波動流場至第二階解本文所得之二階近似解滿足自由表面常壓條件及各垂直斷面之質量通量守衡因此於波動流場中對被原靜止水中之位置 x y ) 所標註的流體質點其運動軌跡 x y ) 與波形 η 和流場中的壓力 P 及流速勢函數 φ 等隨時空演變之特性可完全被闡述關鍵詞 :Lagrangian 斜坡底床非線性波攝動法 Surfae-Waves Propagation on a Gentle Bottom in Lagrangian Coordinates Yang-Yih Chen * Meng-Syue Li Hung-Chu Hsu * Professor Department of Marine Environment and Engineering National Sun Yat-Sen University ABSRAC A new asymptoti solution desribing nonlinear water wave propagation on the surfae of a uniform sloping bottom is derived in the form of the Lagrangian desription. We use the two-parameter perturbation method to develop a new mathematial derivation. he Lagrangian oordinate system the partile trajetories and Lagrangian veloity potential are obtained as a funtion of the nonlinear ordering parameter ε and the bottom slope α perturbed to seond order. he analytial solution in Lagrangian form satisfies the zero pressure at the free surfae and satisfies the onservation mass flux at any vertial setion. Based on the obtained results the veloity potential pressure surfae profile and motion path of the fluid partile in the wave system in time and spae are therefore presented. Keywords: Lagrangian; sloping bottom; nonlinear water wave; perturbation 一前言波浪由深海向近岸地區傳遞時由於受到水深變化的影響波浪會發生淺化變形反射及折射甚至達到某種水深時波浪尖銳度會達到極限波形無法維持而發生波浪破碎的現象此種碎波現象會於該區域爆發出強大的能量對於海岸地形和近岸結構物造成破壞若對波浪淺化至碎波的行為完全了解則有利於其對海岸的破壞降到最低更希望能將此強大的波浪力量轉為有用者 -9-

2 波浪從深海傳遞至近岸其整個力學機構非常複雜往昔學者曾就緩坡底床情況應用等水深中不同的波浪理論來解析如微小振幅波有限振幅波橢圓函數波及孤立波等理論然而這些理論僅各適用於某些範圍的水深無法完全描述波浪由深海傳遞至淺海近岸達碎波的整個波動過程之連續變化對此課題往昔最通常的解析方法為以等水深下之能通量守恆原則逐步由深海解析至淺海近岸以解釋波高波速及波長在淺化過程中的變化然其缺點是喪失因斜坡衍生出之波動流場變化的特性如 Le Mehaute964) 等之論述 ; 或是限定於斜坡坡度與相對水深都很小者如 Mihe944) 與 Keller958) 等對於底床坡度對波形影響之效應 Biesel95) 在線性化自由表面邊界條件下提出很具價值的近似式 Biesel95) 以微小振幅波為基礎來計算出前進波在小坡度底床上的變形並可由 Eulerian 系統的表示方法轉換至 Lagrangian 系統如此可清楚表現出前進波行進在緩坡底床上的變化但可惜的是他並未說明該近似式之推導針對此點陳和湯 99) 有較完整的補充描述近來 Zhao et al.996) 利用 Biesel95) 之理論解析陡坡底床上之速度分佈並以試驗驗證陳等 997) 更將之延伸以系統化 n 3 攝動展開至 α 階且求出至 α 階解然往昔這些理論皆以 Eulerian 系統方式來求出波動流場解後再轉換至 Lagrangian 形式者既使 Chen et al.6) i j 至非線性 εα i+ j 4階之解者亦是如此而陳和黃 ) 與陳等 7) 直接以 Lagrangian 系統描述 n 3 方式以系統化攝動展開至 α 階求出至 α 階之波動流場解來避免此兩種不同系統間的轉換然線性波理論對於波浪受變動水深的影響至碎波的現象並無法得到適當的描述因此本文將以雙攝動參數展開方式直接利用 Lagrangian 系統之描述方法解析出所言之波浪至第二階之流場解來論述斜坡底床上之前進波的非線性問題二波動系統描述. 控制方程式及邊界條件針對二度空間裡在小坡度 α 底床上傳遞的規則表面重力波的描述今選取卡氏直角座標為參考座標 ; 其中水平 x 軸恰位於原平靜的水位線且取波浪傳遞之方向為正 ; 而垂直 y 軸取向上為正 ; 原點 o 落在斜坡底床與原靜水位之交會處如圖所示 : β αtan β 圖斜坡底床上規則前進波的波動系統示意圖在不考慮底床摩擦並以底床為不透水的情況下假設流體為不可壓縮性 inompressible) 無黏性 invisid) 且為非旋轉流 irrotational flow) 運動者今以 Lagrangian 方式來描述所考慮之波動中的流體運動因此可定義出一流速勢函數 φ x y t) 當流體質點被以原靜止水中之位置 x y ) 來標註時則完全在 Lagrangian 方式描述下其整個流場所有物理量之控制方程式可被列述出如下 : ) 質量守衡式 xy ) J xx y y x y y x 或 ) x y) xxty y x yty x + x x y yt x y y xt ) ) 能量守衡下之能量方程式 P φ gy+ x + y ) 3) ρ t t t 3) 非旋轉流條件 xxtx y x ytx x + y xty y y yty x 或 4) φ φx x txx + y tyx x 5) φ φy x txy + y tyy y 4) 自由表面常壓條件 P y 6) 5) 各斷面處之波浪週期平均質量通量的平衡式 y 方向 : vdydt y t dydt 7) U α) x 方向 : x d tdydt x d t dydt α udy U α) u dy ; U α) 8) α 上標表示最深的起源波處 d 為該處的水深 6) 底床邊界條件 : 在固定不透水的斜坡底床處 y y d x) αx αx α < x x 其流體質點速度於底床的法線方向分量必須為零即 y αx y y d αx 9) t t --

3 . 理論解析之系統化展開由於所考慮的波動係從深海沿坡度 α < 的斜坡底床向淺海前進傳播的或當 α 時退化成等水深情況 ) 故其波動特性除與起源處之週期與波高 H 或振幅 a ) 有關外亦受到底床坡度 α 與水深 d 之影響如陳等 7) 對其線性化的理論解析與試驗印證今如為更進一步地將此擴展到非線性的解析於此乃循往昔對波浪之非線性的處理引入一能展現及鑑別出各階非線性量的參數 ε 的冪級數 power series); 即對沿坡度 α < 之斜坡底床上前進的表面波動在保有其非線性的本質下其波動流場的物理量包括水粒子運動軌跡 x y Lagrangian 速度勢函數 φ 壓力 P 波數 k 與水粒子運動頻率 σ 將以底床坡度 α 與非線性參數 ε 的雙冪級數形式表示之而相關的表示式為 + ε α [ σ ) + σ ) + σ )] m n x + ε α [ A F S) + A F S) + f x σt)] m n n + ε α [ σ ) + σ )] m n n y + ε α [ B G S) + B G S)] m n x y t + t + Mmn x t dx m n ε α [ φ F S) + φ σ t) + Mmn x σt) dx] m n ρ ε α σ ) m n ε α ) m n ε α σmn x y) m n w ε α σwm n x y). m n x x f x y t f x y t f x t y y g x y t g x y t ) ) φ ε α [ φ σ ) φ σ ) σ ) ] ) P gb+ P x y t 3) k k x y 4) σ σ 5) 其中位相函數 S kdx σt σ π / L 為常數 L 為水粒子的運動週期而 σw π / onst 為波浪之週期 ; φ σ t) 為僅與時間 t 有關之函數 M f 為回流速度函數項如見 Chen et al.6) 等 A A B B φ 為振幅函數 F S ) F S) G S ) G S) 為位相函數 S 之函數或即 S 之三角函數形式 ) 其下標意義依序為 m 表示非線性量參數 ε 的階次即次方數 ) n 表示底床坡度 α 的階次即次方數 )i 則表示位相函數 S 的倍數如同陳 3 Ι ΙΙ ) 依波動隨坡度 α 變化所先給定之假設即給定 ) 式至 5) 式中的物理量 k A A B B 及 M 對 x 的 q 次 q 偏微分量皆可給定為 O α ) 者即 q q q q q dk d f M da da q q q q q dx dx x dx dx 6) q q q s d B d B d φ q ) O α ) q q q dx dx dx 至此將 ) 至 5) 式代入 ) 至 9) 式中並應用 6) 由收集相同的 ε 及 α 的階次項則所考慮的波動流場所必要滿足的逐階控制式即可被系統化攝動展開與求解之 mn 三理論解析與討論應用 ) 至 6) 及 ) 至 9) 式取出控制式及邊界各階相同階次量的項則可求得下列各階解 3. εα 階解 f A x)osh k y sin S g B x)sinh k y os S A B f f g σx σ y φ σ φ A x )osh k y sin S k P sinh k y gy + ga x) os S ρ osh kd σ gk tanh kd σw. B a k d seh k d + tanh k d sinh k d k dseh k d + tanh k d a sinh k d a 為最深起波源處之波浪振富 k 為該處之 k εα 階解 k y A B{[ k y + ]osh k y Dsinh kd D tanh kd k y k y + [ + ]sinh k b} F S) oss D tanh kd Dsinh kd k y B B{[ k y + ]sinh k b+ d) Dsinh kd D tanh kd k y k y + [ + ]osh k y } G S) sins D tanh k d Dsinh k d σ k y φ B{[ k y ]osh k y k Dsinh k d k y + sinh k y } D tanh kd P [ σφ + gb]sin S ρ k σ σw. --

4 εα 階解 3 osh k y sins f a k sin S + a k 4 8 sinh kd 4 sinh kd osh k y f a k σ t sinh kd gka gkk a f t + U α) t kdσ kdσ 3 sinh k y sinh k y g a k os S + a k 4 8 sinh kd 4 sinh kd ak ak + sinh k d sinh kd g σ σw k 3 osh k y φ a σ sin S 4 8 sinh kd gka gkk a a σ sin S + [ + U α) ] dx sinh kd kdσ kdσ φ aσ t. 4 sinh k d f + f 對時間 t 偏微分則可得沿斜坡底床上將前進波中質點的質量傳輸速度 U osh k y UM f + f ) ak σ t in M 為 s h kd gka gkk a + U α) 7) k dσ k dσ 當坡度 α 時 U α ) 則 7) 式所示的質點之質量傳輸速度 U 是由前進波向前即向岸 ) 推進的速 M 度第一項 f / t 者與受斜坡阻擋而回流的速度第二項 f / t 者所組成而當 α U α ) 之退化為等水深中情況時則 7) 式之 U M 變為純等深水中之中前進波者且恰與 Longuet-Higgins953) Mei989) 等由 Eulerian 解轉換到 Lagrangian 系統者一致 ; 並與陳 994a) 完全由 Lagrangian 方式所解得者相同至於波降 wave set-down) 項由 g 解中的後二項為 ak /sinh k d ak /sinhk d) 此完全與 Longuet- Higgins & Stewart 96) 由波浪輻射應力解析而得的僅至 εα 階的結果相同而水粒子運動週期平均下之 Lagrangian 平均高程 L Lagrangian mean level) ydt a k sinh k L y + d /4sinh k d ) 在 α 退化成等水深時則 ) 與陳 994a) 所得之結果一致 3. 分析檢核由於假設為無能量損失故需保持能通量守衡 onservation of energy flux) 即 H. H tanh kd+ kd/ sinh kd) 8) 上式與本文所得的 εα 階解之結果一致即古典之波浪理論中的波浪淺化效應已被含括在本文的解析結果中在深海中規則前進表面重力波無受到底床坡度之影響即在 d d 處有 k k λ a a/sinhkd D D S k x σt 則在深海 d d 時之各階解於深海中可得到 λy λy f ae sin S g ae os S εα 階解 : σ λy φ ae sin S σ gk gλ. k εα 階解 : f g φ k σ σw. εα 階解於深海中可以得到 f f φ φ g σ σw k λy f a λ + tanh λd) e σt λy g a gλ + tanh λd) e 4 因此在深海 d d 處至 εα 階解是完全相同於深海中前進波至 εα 階的流場解此與陳 994a) 於深海中的結果相同由此可知本文對傳遞在平緩坡度的底床上之前進波的理論解析解在深海 d 處並無受到底床的影響而能完全符合實際的物理狀況當坡度 α 時斜坡底床退化成等深底床情況今以斜坡底床上 x y ) 點處水深 d α x x 做為基點水深時則於圖所示的座標下在坡度 α 時斜坡底床退化成水深 d d d 的等深水平底床情況則在此情況因無水深變化的波浪淺化效應故有 k k k a a a; S kx σt; 因此於底床坡度 α 之等水深 d d 情況下其逐階解為 osh k y f a sin S sinh kd sinh k y g a os S sinh kd εα 階解 : f f g φ a osh k y d) σ + φ sin S k sinh kd σ gktanh kd. εα 階解 : f g φ k. 9) --

5 εα 階解 : 3 osh k y sins f ak sin S + a 4 k 8 sinh kd 4 sinh kd osh k y f ak σ t sinh kd 3 sinh k y sinh k y + d ) g ak oss + a 4 k 8 sinh kd 4 sinh kd g σ k 3 osh k y φ aσ sin S a 4 σ sin S 8 sinh kd sinh kd φ aσ t. 4 sinh kd 由此可知於底床坡度 α 之等水深 d d 情況下波動流場至 εα 階解與往昔所得之等水深 d 之前進波完全相同如陳 994a) 於等水深的結果 3.3 適用範圍因不考慮碎波後的波動場本文僅對於尚未發生碎波之區域論述之並由此討論本解析模式之適用範圍由攝動法的原則級數展開的各階量必須能夠鑑別即高階項的量值必須小於低階項 NayFeh 993) 流速勢函數各階量的最大值即在 sin 與 os 值皆取為下之 sin 與 os 項的係數值方便上以下標表示 ) 的比值 εαφ / εαφ εαφ / εαφ 皆需小於由圖顯示 εαφ 甚小於 εαφ 即有 εαφ / εαφ <. 且隨底床坡度愈緩本理論之適用水深達愈淺 ; 而由圖 3 顯示雖在大於某特定的水深時其比值才會小於如以深海波浪尖銳度 λa.7π 為例其所對應的最小適用水深為 h/ L.77 然此水深已小於由自由表面的流體質點的最大水平流速等於波速所得之碎波水深且隨著深海波浪尖銳度的減小其所對應的最小相對水深則愈淺四波浪變形至碎波波浪由深海向淺海傳遞時其波形隨時空之變形可由本文所得的理論解即對原靜止水中之位置 x y ) 之流體質點其於時間 t 之運動軌跡位置 m x y ) 至 ε α n m+ n 階之解中取 y 之自由表面處之流體質點代入其運動軌跡位置 x y ) 解中就可得到所考慮的波動其自由表面波形 x η ) 由圖 4 可明顯發現當於近岸處波浪達碎波臨界而波峰點變為一尖點 summit) 之實況時以 Lagrangian 方式所得之本文的解析結果較 Eulerian 方式者更能呈現出此真實現象 ; 此乃因以 Eulerian 方式僅能得到正弦 sinusoidal) 函數波形而此為一映成函數無法描述臨近碎波時波形為多值函數的情況故無法顯現出尖頂波峰狀然 Lagrangian 方式是為參數函數的表示故可解決此一問題再者 Eulerian 方式於自由表面處需以泰勒級數展開於 y 處來近似於自由表面處者而 Lagrangian 方式為描述粒子的運動故可直接描述自由表面處的粒子的運動不需以近似方式來求得波形故會得到符合實況的較佳結果五結論與建議本文針對傳遞於平緩坡度之底床上的週期性規則表面前進重力波的問題在 Lagrangian 方式下引入導致水深變化因素的底床坡度 α 及保有波浪非線性特性的深海波浪尖銳度 λ a 之兩個重要參數進行系統化的攝動展開並解析至第二階非線性解在此非線性理論解中至線性階 εα ) 之解完全與陳與黃 ) 所得者相同 ; 在二階非線性解 εα ) 中除呈現往昔所沒有的質點之質量傳輸速度與質平均高程外所得之波降 wave set-down) 結果與往昔者一致 ; 又得到水粒子運動軌跡 Lagrangian 速度勢函數同時對本文所得的非線性解於深海處不受底床的影響及當斜坡坡度 α 退化成等水深中之純前進波時至 εα 解都也獲得具體的印證謝誌本文承蒙國科會專題研究計畫非陡斜坡底床上前進波之非線性 Eulerian 解與 Lagrangian 解間的轉換及波浪變形至碎波 /3)NSC95--E--36 -MY3 經費贊助謹此致謝參考文獻. 陳陽益湯麟武 99) 平緩坡度底床上前進的表面波第十四屆海洋工程研討會論文集第 - 頁. 陳陽益 994a) 等深水中非旋轉性的自由表面前進重力波之 Lagrangian 方式的攝動解析第十六屆海洋工程研討會論文集第 A-A9 頁 3. 陳陽益 997) 平緩坡度底床上前進的表面波第十九屆海洋工程研討會論文集第 -3-

6 - 頁 4. 陳陽益黃啟暘 ) Lagrangian 方式下平緩底床上之前進波第二十二屆海洋工程研討會論文集第頁 5. 陳陽益 3 I) 非陡坡底床上前進波的非線性解析 :I. 系統化攝動展開模式第二十五屆海洋工程研討會論文集第頁 6. 陳陽益 3II) 非陡坡底床上前進波的非線性 i j 解析 :II. 至 εα i + j 3 階的解析解及印證第二十五屆海洋工程研討會論文集第頁 7. 陳陽益許弘莒李孟學 7) 非陡斜坡底床上前進波之非線性 Eulerian 解與 Lagrangian 解間的轉換及至波浪變形至碎波 /3) 第二十九屆海洋工程研討會論文集第 7-76 頁 8. Biesel F. 95) Study of wave propagation in water of gradually varying depth U.S National Bureau of Standards Gravity Waves NBS Cirular 5 pp Chen Y.Y. Hsu H.C. Chen G.Y. and Hwung H.H. 6) heoretial analysis of surfae waves and breaking on a sloping bottoms. Part:Nonlinear waves Wave Motion 43 pp Keller J.B. 958) Surfae waves on water of non-uniform depth J. Fluid Meh. 4 pp Le Méhauté and L. Webb 964) Periodi gravity wave over a gentle slope at a third order of approximation Pro. 9th Conf. On oastal Eng. ASCE pp Mihe A. 944) Mouvements ondulatoires de la mer en profondeur onstante ou dero -issante Annales des ponts et haussees 4 pp animoto K. Nakamura S. and Zhao Q. 996) Evaluation of wave motions and radiation stress on steep slope in Japanese) Pro. 43 th Japan Coast. Eng. Conf. pp Zhao Q. Nakamura S. and animoto K. 996) Distribution of partile veloities due to waves on very deep slope bottom IAHR-APD Langkawi Malaysia. εαφ εαφ α /5 α / α /5 α / 圖攝動法方式之適用範圍 εαφ / εαφ ) εαφ εαφ λ a. π λ a.3 π λ a.5 π λ a.7 π 圖 3 攝動法方式之適用範圍 εαφ / εαφ ) k ξ k a.3π h/ L k ξ α / 圖 4 至 εα 階解的臨近碎波之 Eulerian 和 Lagrangian 所得之波形比較圖 h/ L -4-

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