The Japanese Journal of Psychonomic Science 2014, Vol. 32, No. 2, 統計情報仮説評価分散分析代? 1 岡田専修大学謙介 Does Bayesian evaluation of informative

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1 The Japanese Journal of Psychonomic Science 2014, Vol. 32, No. 2, 統計情報仮説評価分散分析代? 1 岡田専修大学謙介 Does Bayesian evaluation of informative hypothesis outperform analysis of variance? Kensuke Okada Senshu University The analysis of variance (ANOVA)has long held the status of being the most used (or I should say abused ) statistical technique in psychological research. Although there is no doubt about the usefulness of ANOVA, it is not free from disadvantages such as difficulty in accepting null hypothesis and multiplicity problem with multiple tests. In order to deal with these problems, the objective of this paper is to introduce Bayesian evaluation of informative hypothesis to psychonomic researchers. An informative hypothesis consists of inequality constraints between the parameters of interest. The relevance of informative hypothesis is evaluated thorough the Bayes factor against the unconstrained hypothesis. The calculation of Bayes factor is generally performed by means of Markov chain Monte Carlo techniques. This approach is illustrated by analysis of experimental data with mice having different nighttime light conditions. Key words: informative hypothesis, unconstrained hypothesis, Bayes factor, posterior model probability, analysis of variance 心理学, 基礎心理学領域, 分散分析利用, 濫用統計手法言 Howell (2009) 心理学研究分散分析広用主理由, 複数水準間比較, 複数要因考慮挙分散分析特徴, 実験得相性歴史的, 分散分析実験計画法密接関係持 Corresponding address: Department of Psychology, Senshu University, 2 1 1, Higashimita, Tama-ku, Kawasaki-shi, Kanagawa , Japan. ken@ psy.senshu-u.ac.jp 1 本研究私立大学戦略的研究基盤形成支援事業 (S ) 科学研究費補助金 ( , , ) 助成受本表題狩野 (2002) 依拠発展方法論一般的分散分析応用, 設定要因主効果交互作用有無検討具体的, 各要因主効果交互作用 0 帰無仮説仮説検定 (F 検定 ) 行結果有意場合, 続 Tukey 法 Bonferroni 法, 各種方法用多重比較行, 一連分析結果基, 研究者結果解釈, 一般的分散分析方法論様々問題点指摘, 仮説検定枠組用由来問題, 2 点指摘第一, 仮説検定, 帰無仮説 H 0 積極的支持仮説検定用検定統計量 p 値, 帰無仮説 H 0 正前提導出 p 値, 帰無仮説 H 0 正仮定, 今回得極端, 帰無仮説整合的 Copyright The Japanese Psychonomic Society. All rights reserved.

2 224 基礎心理学研究第 32 巻第 2 号検定統計量値得確率, p 値定有意水準小, 前提帰無仮説棄却証拠得, 仮説検定対立仮説正場合議論行,p 値小 ( 有意水準大 ) 帰無仮説積極的支持証拠得第二, 仮説検定結果, 標本単調依存関係, 母集団効果量同場合, 標本 N 大大検定結果有意 p 値効果大表量, 検定帰無仮説棄却, 考効果現実的意味含意以上 2 点代表仮説検定各種問題点, 心理学統計改革流近年繰返指摘 (Cumming, 2012; Kline, 2004; 大久保岡田,2012), 仮説検定全般分散分析枠組特徴的問題点複数指摘第一,1 段階目行主効果交互作用 F 検定, 第 2 段階目行多重比較一般結果整合性 F 検定結果主効果有意, 多重比較結果水準差実際生本来別々別々分析 (F 検定多重比較 ) 分散分析 1 方法論生問題, 理論的当然, 不一致結果出場合解釈行悩問題第二, 分散分析 F 検定依立平方和分解, 釣合型 (balanced design), 各標本等場合成立現実的脱落欠測, 非釣合型, 各標本等分析多場合 I, III 各種平方和利用対応, 釣合型場合単純平方和分解成立, 妥協産物言, 分散分析定着, 実験統計合, 既存分散分析収集指摘, 統計観点考慮入階層性混合性, 分散分析用分析考慮入場合多本稿分散分析枠組有用性疑, 分散分析万能事実上記見, 分散分析検定由来問題, 分散分析枠組由来問題, 応用上問題各種問題抱, 多要因多群平均値比較関新枠組,Hoijtink (2011), Hoijtink, Klugkist, & Boelen (2008) 提唱, 統計情報仮説評価 (Bayesian evaluation of informative hypotheses) 統計情報仮説評価, 帰無仮説設定古典的仮説検定用多統計応用同様, 多重性問題対処容易本稿, 統計情報仮説評価枠組概説, 実験適用知見得目的第 2 節, 統計学枠組, 選択述第 3 節統計情報仮説評価枠組述第 4 節, 枠組実適用例示第 5 節近年話題扱, 最後議論行統計学, 情報利用, 定理母数関知識更新枠組公理出発演繹的体系, 矛盾推論結果到達 ( 繁桝,1985) 伝統的統計学 ( 頻度論 frequentist theory 呼 ), 母数未知定数, 標本計算標本統計量確率変数考対, 統計学, 分析者手元定数, 母数値分析者未知確率変数考母数確率変数扱違, 伝統的統計学 ( 頻度論 ) 統計学違本質 (Table 1) 頻度論立場統計学立場関, 統計的分析, 仮説母数関仮説母数 θ 表記, 仮説 H(θ) 表通常略記単 H 表統計学母数 θ 確率変数, 仮説 H(θ) 適切確率評価, X 得前, 仮説 H i 正確率 ( 仮説 H i 事前確率 ) p(h i ), X 得後仮説 H i 正確率 ( 仮説 H i 事後確率 ) p(h i X) 表, 事後確率 p(h i X)

3 225 Table 1. The key difference between classical (frequentist)and Bayesian statistics 頻度論 frequentist Bayesian 母数 parameter 定数 fixed 確率変数 random variable data 確率変数 random variable 定数 fixed 定理 ( px Hi)( phi) ( p H i X) = (1) ( px) 表 (1) 式分子 p(x H i ), 仮説 H i 真 X 得確率表発生対応, 項分布 (data distribution) 呼母数関数見場合, 尤度 (likelihood) 呼, 分母 p(x) 考仮説考慮 ( 周辺化 marginalize ) X 得確率量, 分子計算可能組合, 合計 1 ( 確率 ) 基準化項考, 基準化定数呼, 項直接計算事後確率求可能,( 1) 式次理解 : [ H の事後確率 ] i [ データ分布 ][ Hiの事前確率 ] = (2) [ 基準化定数 ] 統計学枠組, X 得, 関心母数仮説関情報 1 仮説 H i 推論見, 実際 2 仮説存在, 仮説間支持調場合多選択問題, 統計学 (Bayes factor, 因子 ) 用評価 2 仮説 H i H u 比較 ( p H i X) ( p H u X) BFiu= ( phi ) ( ph) u (3) 表,( 3) 式分母 p(h i )/p(h u ), X 観測前 2 仮説事前確率比 Table 2. Interpretations of Bayes factor according to Jeffreys (1961)and Kass & Raftery (1995) (a)jeffreys (1961) BF iu Evidence against H u 1 to 3.2 Not worth more than a bare mention 3.2 to 10 Substantial 10 to 100 Strong >100 Decisive (b)kass & Raftery(1995) BF iu Evidence against H u 1 to 3 Not worth more than a bare mention 3 to 20 Positive 20 to 150 Strong >150 Very strong 表確率比呼, 事前 (prior odds) 呼事前 1 2 仮説確率等,1 大 H i 事前確率方大,1 小 H u 事前確率方大一方, 分子 p(h i X)/p(H u X)) X 観測更新,2 仮説事後確率比表, 事後 (posterior odds) 呼解釈同様 2 ( 3) 式, 事後事前比与,, 与, 仮説 H u 比仮説 H i 支持変化率表 (Lavine & Schervish, 1999) BF iu =1, 得事後事前変化意味 BF iu >1, 得事後事前 H i 支持意味 BF iu <1, 得事後事前 H u 支持意味値解釈基準, rule 2 実際, 後見統計情報仮説評価枠組, 事前事後 1 以下値

4 226 基礎心理学研究第 32 巻第 2 号 of thumb( 大経験則 ),Jeffreys(1961) Kass & Raftery (1995) 基準知 Table 2 示, 基準目安, 絶対的十分留意点 Rosnow & Rosenthal (1989) 適切述, 以下長拙訳上引用 : 2 対立仮説, 支持程度比直接数量化量 100 倍支持十分, 1.04 倍支持不十分, 多研究者同意, 文献中明確, 我々提供, 恣意的決定規則与 p 値知警句思出 : 神 p<.05 p<.06 等, 同強愛 ( p. 1277) 心理学研究仮説評価長 p 値第一義的用, 近年, 心理学分野支持文献見 (e.g., Massaro, Cohen, Campbell, & Rodriguez, 2001; Morey & Rouder, 2011; Rouder & Morey, 2011; Rouder, Morey, Speckman, & Province, 2012) 本節, 研究者持情報仮説基評価方法述例,Fonken et al. (2010) 3 条件下体重増利用,27 匹 9 匹 3 群割当,4 週間後体重増分測定 LD (light/ dark) 群, 通常昼間明夜暗照明保 LL (light/light) 群, 昼夜問照明明保 DM (dim light at night) 群, 昼間明, 夜薄明照明保, R Lock5Data LightatNight 収録 (Lock, 2012) 3 群 4 週間後体重増従属変数各群平均順 μ LD, μ LL, μ DM 表, 体重増関以下 3 種類仮説考 : H 1 : μ LD <μ DM <μ LL (4) H 2 : μ LD <{μ DM, μ LL } (5) H u : μ LD, μ DM, μ LL (6) 最初仮説 H 1, 夜暗群平均体重 μ LD 夜薄明群平均体重 μ DM 重, 昼夜関係明群平均体重 μ LL 重仮説 2 番目仮説 H 2, 夜暗群 ( LD) 夜暗群 (DM, LL) 方平均体重重仮説仮説夜少明絶対的明影響考,μ DM μ LL 間不等式制約置点注意 ( 4),( 5) 式仮説 H 1 H 2, 母数 ( μ) 不等式制約 (inequality constraint) 入表現仮説情報仮説 (informative hypothesis) 呼研究者持仮説, 情報仮説表現場合多一方,( 6) 式 H u 母数制約仮説無制約仮説 (unconstrained hypothesis) 呼統計情報仮説評価枠組, 情報仮説無制約仮説対比表現情報仮説 H 1 (4 式 ) 定量化場合, 得 H 1 (4 式 ) H u (6 式 ) 比較評価情報仮説評価枠組相性大理由 1, 情報仮説 H i 無制約仮説 H u 比較, 以下非常式書 (Klugkist, Laudy, & Hoijtink, 2005) BF f i iu= (7) ci,c i 無制約仮説 H u 事前分布, 情報仮説 H i 整合的確率密度割合表仮説 H i 複雑 (complexity) 呼一方,f i 無制約仮説 H u 事後分布, 情報仮説 H i 整合的確率密度割合表当 (fit) 呼上式導出 Hoijtink (2011, 2013); Klugkist et al. (2005) 見過程図示例示,μ 1, μ 2 2 母数関心場合考情報仮説, 1 群母平均 μ 1 2 群母平均 μ 2 大仮説 H i : μ 1 >μ 2 考対無制約仮説, 母平均制約 H u : μ 1 >μ 2 Figure 1(a) 左側,H u 母数空間 {μ 1, μ 2 } 上設定事前分布示事前情報得場合想定, 裾広無情報的事前分布設定一方,Figure 1(b) 左側, 情報仮説 H i 整合的部分示黒塗

5 227 Figure 1. Prior and posterior distributions under different hypotheses. (a)prior (left)and posterior (right)distributions under H u : μ 1, μ 2. (b)prior (left)and posterior (right)distributions under H i : μ 1 >μ 2. (c)prior (left)and posterior (right) distributions under H 0 : μ 1 =μ 2. 左上半分 μ 1 <μ 2 領域, 情報仮説 H i 整合的, 情報仮説複雑 c i c i =1/2 一方, 得 H u 事後分布 Figure 1(a) 右側示持情報, 事後分布散布度事前分布大幅

6 228 基礎心理学研究第 32 巻第 2 号小, μ 1 >μ 2 右下側多確率密度持同様, 仮説 H i : μ 1 >μ 2 整合的領域 Figure 1(b) 右側示事前分布比事後分布仮説 H i 整合的領域多確率密度含, 情報仮説 H i 当 f i 0.5 大 f i = 0.9,H i H u 比較,( 7) 式 B iu =0.9/0.5=1.8 求, 情報得,H i H u 比較際事後, 事前 1.8 倍大, 事後確率 (posterior model probability, PMP) 変換一般情報仮説 I 個 (H 1,..., H i..., H I ), 加無制約仮説 H u 場合,i 番目情報仮説無制約仮説事後確率 BF = for 1,, (8) iu PMPi i= I 1+ i BFiu 1 PMPu = (9) 1 + BFiu 与事後確率, 表現異相互変換可能量本節, 前節導入統計情報仮説評価枠組実適用 Fonken et al. (2010) 体重用,( 4),( 5) 式情報仮説 H 1, H 2 (6) 式無制約仮説 H u 比較情報仮説評価実行専用開発,Mulder, Hoijtink, & de Leeuw (2012) BIEMS,Kuiper, Klugkist, & Hoijtink (2010) ConfirmatoryANOVA,Fortran 書,GUI 備提供, 内部的, 規定事前分布連鎖 (Markov chain Monte Carlo, MCMC) 法推定行, 事後分布推定一方,MCMC 法用汎用的利用,WinBUGS OpenBUGS (Lunn, Spiegelhalter, Thomas, & Best, 2009; Lunn, Thomas, Best, & Spiegelhalter, 2000) van Rossum, van de Schoot, & Hoijtink (2013) BUGS 用汎用的方法利用情報仮説評価行同様本稿 Open- BUGS 利用実際利用 Appen- i dix 示情報仮説 H 1, H 2 複雑考今回情報仮説, 複雑単純計算求 ( 4) 式情報仮説 H 1 3 母数 2 不等式制約, 場合数 3!=6 通情報仮説 H 1 1 通, 複雑 c 1 = 1/6 次 (5) 式情報仮説 H 2 考, 3 母数 1 不等式制約, 場合数 3 通報仮説 H 2 1 通, 複雑 c 2 =1/3 次事後分布推定行今回単純問題場合, 事前分布適切選択事後分布関推論解析的行可能, 汎用性 MCMC 用方法利用無情報的事前分布設定利用, 各群平均母数 μ 1, μ 2, μ 3 平均 0, 分散 1000 正規分布設定, 各分布分散,IG (0.01, 0.01) 逆分布設定 BUGS 用事前情報場合無情報的設定標準的 (Ntzoufras, 2009) Appendix BUGS 用,1,000 回 burn-in 1,000,000 回分 MCMC 標本推定利用多数回 MCMC 計算行, 所用 CPU 時間手元 PC(Intel Core i7, 3.4 GHz) 3 秒, 単純大計算時間速,f 1 f 2 最初 3,000 回分 MCMC Figure 2 示図,f 1 1 値回 MCMC 標本情報仮説 H 1 成立,0 値回成立意味 (f 2 H 2 組同様 ) 情報仮説 H 1 当 f 1 推定値 , 情報仮説 H i2 当 f 2 推定値 , f BF1 u= = =5.57 c f BF2 u= = =2.80 c (10) (11) 求結果要約 Table 3 示以上, 情報仮説 H 1 H 2 当差, 情報仮説 H 1 方複雑大仮説, 結果 H 2 約 2 倍大, 事後確率 (8),( 9) 式

229 Figure 2. MCMC traces of fit parameter for (a)h 1 and (b)h 2 for the first 3,000 iterations. Table 3. Summary of prior and posterior results for informative and unconstrained hypotheses. 得 5.

7 229 Figure 2. MCMC traces of fit parameter for (a)h 1 and (b)h 2 for the first 3,000 iterations. Table 3. Summary of prior and posterior results for informative and unconstrained hypotheses. 得 5.57 PMP 1 = = PMP 2 = = PMP u = = H 1 H 2 H u c(complexity) i f(fit) i BF iu (Bayes factor) PMP(Posterior i model probability) (12) (13) (14) 以上分析結果次体重増,( 4)~( 6) 式 H 1, H 2, H u 3 種類仮説間選択問題考推定結果, 母数何制約無制約仮説 H u 比,H 倍, H 倍, 事後事前変化事後確率見, 得後 H 1 真確率 60%,H 2 約 30%,H 1 約 10%, 仮説 1 選 H 1, 支持度合, 事後確率 H 2 約 2 倍,H u 約 6 倍前章述, 統計情報仮説評価枠組, 研究者持情報仮説 H i, 母数制約無制約仮説 H u 比較評価無制約仮説関心母数一切情報仮説仮説, 情報仮説評価基準適切考一方, 伝統的統計学枠組比較基準, 無制約仮説 H u, 母数等式制約 (equality constraint) 入帰無仮説 H 0 前節体重例, 帰無仮説 H 0 : μ 1 =μ 2 =μ 3 (15) 表 Figure 1(c) 模式的示, 等式制約帰無仮説 H 0 整合的確率密度 0, 前節述方法 H 0 評価適用等式制約表現 H 0 無制約仮説 H u 比較,Savage Dickey 密度比 (Savagte-dickey density ratio; Dickey, 1971; Verdinelli & Wasserman, 1995) 利用,H 0 等式制約点事前分布事後分布確率密度比,3 章述情報仮説評価枠組, 無情報的事前分布設定事前分布設定依存対, 定義上 Savage Dickey 密度比事前分布設定大依存事前分布分散 , 結果得非常大影響与, 母数空間 [0, 1] 制約比率推定状況除, 帰無仮説 H 0 現在統計情報仮説評価直接持込難等式制約入仮説入仮説, 言換次元数異仮説比較際困難生古知問題対応枠組, 客観 (objective Bayes) 分野客観枠組, 分析

8 230 基礎心理学研究第 32 巻第 2 号際, 必要最小限度情報積極的活用, 無情報的事前分布構成本稿範囲外,Berger (1985) 参照最近,Hoijtink(2013) 情報仮説評価枠組客観事前分布議論行, 議論客観枠組異客観 H 0 H u 次元数異 2 仮説比較際無情報的事前分布, 客観的, 基自動的設定考方対 Hoijtink (2013) 主張, 種情報仮説 ( 彼言同等集合 equivalent set 1 ), 事前分布無情報的設定, 本質的持情報決議論有用,( 1) 情報仮説適用 ( 同等集合持情報仮説 )( 2) 等式制約表現 H 0 仮説適用注意必要本稿統計学情報仮説評価枠組概説, 実分析行最近話題述統計学仮説母数関仮説古典的検定帰無仮説対立仮説, 情報仮説評価用情報仮説無制約仮説, 母数仮説変統計学, 頻度論異, 母数確率変数扱, 統計学立場分析行, 研究者持情報仮説確率的評価本稿, 用最単純, 各群平均母数異分散母数等独立正規分布, 統計情報仮説評価枠組, 限, 広一般実行分散群間異, 群間共分散考, 階層混合設定様々一般化線形混合枠組記述, 本稿行 BUGS 推定導出 (Gelman, 2007; Gelman et al., 2013), 統計情報仮説評価分散分析比, 非常柔軟枠組分散分析相当問題情報仮説評価適用事例,van Rossum et al. (2013) van de Schoot et al. (2011),van de Schoot et al. (2011),2 以上要因考古典的交互作用議論複雑設定, 情報仮説評価枠組有用発達実分析示研究者持仮説, 情報仮説適切表現場合多統計情報仮説評価利用, 背理法的棄却設定帰無仮説考,F 検定多重比較結果乖離悩, 研究者仮説直接定量的比較評価枠組分散分析代, 少広普及分散分析欠点補相補的分析, 統計情報仮説評価, 有用, 広利用枠組考 Appendix A 分析例利用 OpenBUGS f1 事後平均情報仮説 H 1 複雑 f 1 点推定値, f2 事後平均 H 2 複雑 f 2 点推定値表 y 体重増分,d1, d2, d3 LD, DM LL 群所属表変数 MODEL{ # Model and prior for(i in 1:27){ mu[i] <- mu1*d1[i] + mu2*d2[i] + mu3*d3[i] y[i] ~ dnorm(mu[i],invsig2) } # Hyperprior mu1~dnorm(0.0,0.001) mu2~dnorm(0.0,0.001) mu3~dnorm(0.0,0.001) invsig2 ~ dgamma(0.01,0.01) # Calculation of fit f1a <- step(mu2-mu1) f1b <- step(mu3-mu2) f1 <- f1a*f1b f2a <- step(mu2-mu1) f2b <- step(mu3-mu1) f2 <- f2a*f2b }

9 231 Berger, J. O. (1985). Statistical decision theory and Bayesian analysis. New York: Springer. Cumming, G. (2012). Understanding the new statistics: Effect sizes, confidence intervals, and meta-analysis. New York: Routledge. Dickey, J. M. (1971). The weighted likelihood ratio, linear hypotheses on normal location parameters. Annals of Mathematical Statistics, 42, Fonken, L. K., Workman, J. L., Walton, J. C., Weil, Z. M., Morris, J. S., Haim, A., & Nelson, R. J. (2010). Light at night increases body mass by shifting the time of food intake. Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, 107, Gelman, A. (2007). Data analysis using regression and multilevel/hierarchical models: New York: Cambridge University Press. Gelman, A., Carlin, B. P., Stern, H. S., Dunson, D. B., Vehtari, A., & Rubin, D. B. (2013). Bayesian data analysis (3rd ed.). Boca Raton, FL: Chapman & Hall/CRC. Hoijtink, H. (2011). Informative hypotheses: Theory and practice for behavioral and social scientists. Boca Raton, FL: Chapman and Hall/CRC. Hoijtink, H. (2013). Objective Bayes factors for inequality constrained hypotheses. International Statistical Review, 81, Hoijtink, H., Klugkist, I., & Boelen, P. (2008). Bayesian Evaluation of Informative Hypotheses. New York: Springer. Howell, D. C. (2009). Statistical methods for psychology (7th ed.). Belmont, CA: Cengage Learning. Jeffreys, H. (1961). Theory of probability (3rd ed.). Oxford, UK: Oxford University Press. 狩野裕 (2002). 構造方程式, 因子分析, 分散分析, 解析代? 行動計量学,29, (Kano, Y.) Kass, R. E., & Raftery, A. E. (1995). Bayes factors. Journal of the American Statistical Association, 90, Kline, R. B. (2004). Beyond significance testing. Washington, DC: American Psychological Association. Klugkist, I., Laudy, O., & Hoijtink, H. (2005). Inequality constrained analysis of variance: A Bayesian approach. Psychological Methods, 10, Kuiper, R. M., Klugkist, I., & Hoijtink, H. (2010). A fortran 90 program for confirmatory analysis of variance. Journal of Statistical Software, 34, Lavine, M., & Schervish, M. J. (1999). Bayes factors: What they are and what they are not. American Statistician, 53, Lock, R. (2012). Lock5Data: R package version 2.6. Retrieved May 11, 2013, from Lock5Data Lunn, D., Spiegelhalter, D., Thomas, A., & Best, N. (2009). The BUGS project: evolution, critique and further directions. Statistics in Medicine, 28, Lunn, D. J., Thomas, A., Best, N., & Spiegelhalter, D. (2000). WinBUGS a Bayesian modelling framework: concepts, structure, and extensibility. Statistics and Computing, 10, Massaro, D. W., Cohen, M. M., Campbell, C. S., & Rodriguez, T. (2001). Bayes factor of model selection validates FLMP. Psychonomic Bulletin & Review, 8, Morey, R. D., & Rouder, J. N. (2011). Bayes Factor approaches for testing interval null hypotheses. Psychological Methods, 16, Mulder, J., Hoijtink, H., & de Leeuw, C. (2012). BIEMS: A Fortran 90 program for calculating Bayes factors for inequality and equality constrained models. Journal of Statistical Software, 46, Ntzoufras, I. (2009). Bayesian Modeling Using WinBUGS. Hoboken, NJ: Wiley. 大久保街亜, 岡田謙介 (2012). 伝心理統計 : 検定力効果量信頼区間勁草書房 (Okubo, M. & Okuda, K.) Rosnow, R. L., & Rosenthal, R. (1989). Statistical procedures and the justification of knowledge in psychological science. American Psychologist, 44, Rouder, J. N., & Morey, R. D. (2011). A Bayes factor metaanalysis of Bem's ESP claim. Psychonomic Bulletin & Review, 18, Rouder, J. N., Morey, R. D., Speckman, P. L., & Province, J. M. (2012). Default Bayes factors for ANOVA designs. Journal of Mathematical Psychology, 56, 繁桝算男 (1985). 統計入門東京大学出版会 (Shigemasu, K.) van de Schoot, R., Hoijtink, H., Mulder, J., Van Aken, M. A., Orobio de Castro, B., Meeus, W., & Romeijn, J.-W. (2011). Evaluating expectations about negative emotional states of aggressive boys using Bayesian model selection. Developmental psychology, 47, 203. van Rossum, M., van de Schoot, R., & Hoijtink, H. (2013). Is the hypothesis correct or is it not : Bayesian evaluation of one informative hypothesis for ANOVA. Methodology: European Journal of Research Methods for the Behavioral and Social Sciences, 9, 13. Verdinelli, I., & Wasserman, L. (1995). Computing Bayes factors using a generalization of the Savage-Dickey density ratio. Journal of the American Statistical Association, 90,

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The Japanese Journal of Psychonomic Science 2014, Vol. 32, No. 2, 統計 情報仮説 評価 分散分析 代? 1 岡田 専修大学 謙介 Does Bayesian evaluation of informative

The Japanese Journal of Psychonomic Science 2014, Vol. 32, No. 2, 統計情報仮説評価分散分析代? 1 岡田専修大学謙介 Does Bayesian evaluation of informative