讀者迴響蒼老聲音,Bob Dylan 正吟唱著他那首著名的 Blowing in the Wind ), 只不過你的理想不見了熱情不見了, 活力也不見了經過了十幾二十年的折騰, 你總算活了下來 ; 環顧四周, 這個世界好像就少了一個人, 多了一具木乃伊這兩道引起爭論的指考題是 : 91 年指

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钓代
5 years ago
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1 我對兩道指考考題的看法高雄市私立道明中學呂英聰老師今天 (2006 / 10 / 27) 心血來潮, 看到擺在辦公室桌上新出爐的翰林數學天地第 22 期, 翻開看了一下目錄, 首先就讀了陳明峰老師寫的兩道指考考題的解法一方面很佩服他鍥而不捨, 要求嚴謹的精神, 或許我的硬底子不夠, 一直沒有察覺可以那樣把它們硬是給做出來 ; 另一方面, 年輕時念書教書的那種活力熱情, 一時之間好像又在身體裡面燃燒了起來本來像我這樣已經退休了的準老人似乎應該就此一了百了, 學佛打坐, 雲遊四海, 探尋生命的終極意義去了 ; 可是凡人畢竟是凡人, 最後讀到考試和教學真是兩回事, 心裡頭忽然百感交集, 三十年來教學的點點滴滴, 彷彿又一幕幕地浮現眼前想想或許也該對這兩道考題以及考試教學, 提出個人的一點粗淺看法在理想的情況下, 考試與教學可以是兩回事 ( 我知道很多人會說考試是教學的成果檢驗, 但那得看你指的是什麼性質的考試 ), 不應該彼此過分遷就, 本來它們就都應該有很大的揮灑與自主空間 ( 只要能激發想像力 ); 不幸的是這個現實世界大半是不理想的, 尤其是在臺灣這個 ( 其實是任何一個 ) 短視功利的社會裡, 考試與教學就不可能是兩回事而是一回事, 考試絕對嚴重影響教學, 教學只是為了要應付考試, 而且幾乎就是填鴨式的特技教學 ; 除非我們當老師的吃了熊心豹子膽, 否則莫不全力以赴地將學生的想像力消磨殆盡因此從開始教書的那一年起 ( 那時我在三度空間揮灑自如 ), 你的理想就開始質變, 熱情漸漸地轉變成心中的一把熊熊怒火, 有時也就難免有一點神經質 ( 那時我總覺得好像活在二度空間 ); 不知道又過了幾年, 醫生告訴你說你得了憂鬱症 ( 那時我的夢境都是一維的, 常常夢見我變成一點, 焦慮地在 x 軸上爬來爬去 ) 直到有一天, 你赫然驚覺, 一直以來你錯得多麼離譜! 誰叫你用數學歸納法去證明 n 個集合的排容原理? 誰叫你花一整節課的時間去證明 ( 說明 ) 三個空間向量外積再內積就等於一個三階行列式的值, 而這個值正好就是這三個空間向量所張成的平行六面體體積? 錯錯錯! 所有這些都是你的錯! 這種東西只要花三分鐘叫他們背下來就好了, 反正考試根本不可能考這麼長的證明 ( 一切都是考試惹的禍!) 然後同一觀念, 性質類似的題目讓他們一口氣做二十題, 一直做到他們見到題目就反射為止 ; 這時你非常訝異地發現奇妙的事 : 他們的考試成績 ( 分數分數, 一切誤謬都假你之名 ) 竟然比以前還要好從此你的憂鬱症不藥而癒 ( 這時我發現我回到未來, 在四度空間漂泊, 四周隱約傳來那再熟悉不過的年輕靈魂的 281 數學天地

2 讀者迴響蒼老聲音,Bob Dylan 正吟唱著他那首著名的 Blowing in the Wind ), 只不過你的理想不見了熱情不見了, 活力也不見了經過了十幾二十年的折騰, 你總算活了下來 ; 環顧四周, 這個世界好像就少了一個人, 多了一具木乃伊這兩道引起爭論的指考題是 : 91 年指考數學甲多重選擇題第 4 題 : 平面上有以坐標原點為中心的兩個橢圓, 已知這兩個橢圓的長軸長度相等, 短軸長度也相等, 並且兩橢圓相交於四個點今將此四點以坐標原點為中心, 反時鐘順序依次連成一個四邊形, 請問下列哪些敘述為真? 1 該四邊形一定是正方形 2 該四邊形不可能是長與寬不等的長方形 3 該四邊形一定是平行四邊形 4 該四邊形一定是菱形 94 年指考數學甲多重選擇題第 9 題 : 有一條拋物線位於坐標平面之上半面 ( 即其 y 坐標 30), 並與 x_ 軸直線 y=x-1 直線 y=-x-1 相切下列敘述何者正確 : 1 此拋物線的對稱軸必為 y_ 軸 2 若此拋物線對稱軸為 y_ 軸, 則其焦距為 1( 註 : 拋物線的焦距為焦點到頂點的距離 ) 3 此拋物線的頂點必在 x_ 軸上 4 有不只一條拋物線滿足此條件任何時候, 從事任何工作, 具有想像力永遠是一個優勢, 有些人是天賦的, 有些人則是慢慢訓練培養而來的我一直都認為教數學的老師們, 有一項很重要的任務, 就是要激發學生的想像力因此在數學中, 作猜測有直覺是不是很重要? 一般人可能不懂為什麼數學需要猜測, 有些時候還要靠直覺? 但是科班出身的我們心裡清楚的很, 所謂很重要是指在做學問 ( 數學 ) 的過程中, 它們是不是具有舉足輕重的地位? 過去我們學數學的時候, 或做問題的某個中途, 都曾有過直覺, 有過猜測的經驗吧? 現在回頭想想, 那個直覺不知道是怎麼冒出來的, 而那個猜測 ( 或靈感 ) 簡直就是神來之筆數學作為科學之母當然必須要求嚴謹, 但是嚴謹是在此之後的事我的意思是 : 當一切大致搞定就緒之後的那個形式工作才真正必須嚴謹, 但是過程呢? 那麼在考試中, 猜測直覺是不是很重要?( 這是個笨問題, 當然很重要! 否則為什麼他每次都猜對, 我每次都猜錯 ) 如果看上面那兩道考題, 顯然猜測直覺還是很重要 ( 因為據我所知這兩題的嚴格解答過程好像都不簡單, 因此我只能假設命題者就是要考猜測直覺 ) 其實真正數學天地 129

3 的問題是 : 作為國家級的考試, 考學生猜測直覺是否妥當? 這個問題大家可能就有很多不同的看法, 所以很值得討論我個人認為值得考, 畢竟整份考卷只有那麼一題是這樣考的, 所占的比例不是很高至於這兩道題是不是好的猜測直覺 ( 想像力 ) 考題, 那又是另外一個問題, 不是我可以簡單論斷的現在要談談我對這兩道考題的看法既然各式各樣的考試領導各式各樣神乎其技的教學, 現在大考這樣考, 所以我們是不是偶爾也該激發激發學生的想像力, 培養他們的直覺, 訓練他們如何作猜測? 只有最好最挑剔的學生, 我們才再教他最嚴謹的處理方法 ( 但即使是最挑剔的學生如果失去直覺的培養, 猜測的訓練, 缺乏想像力, 那也會是很可惜的事 ; 甚至, 他就不可能是太好的 ) 所以教育真不是一件簡單的事, 不管怎麼做, 都很難治好你的病痛第 1 題其實不很容易有直覺, 理由是我們很難徒手畫出相當程度的準確圖不過第 1 個選項一定不對, 因為隨便畫幾個圖, 四個交點連起來, 怎麼看都不像一定會是個正方形 ; 第 4 個選項看來是對的, 當然圖要畫相當的準確 ( 然後就是考驗你能否做出準確的猜測了 ) 在這個基礎上, 第 3 個選項也就對了 ; 至於第 2 個選項, 因為又是菱形又是矩形必定就是正方形, 因此也是對的所以整個問題的關鍵就在學生有沒有菱形的直覺, 能否做出這樣的猜測老實說, 對多數的考生而言, 這就真的要看運氣了我提出我的看 ( 證 ) 法 : 如圖 1,G 1 是躺著的橢圓, 將 G 1 以原點為中心逆時鐘旋轉 2q( 可以假設 01<q2451) 得到 G 2,G 1 與 G 2 的四個交點依序為 A B C D 現在反過來把 G 2 順時鐘旋轉回到 G 1, 想像一下 G 2 上的 A 點也跟著轉回來, 因此會是 G 1 在第四象限上的某一點, 而且,qAOA8=2q,#OA=#OA8, 這是第一個關鍵想法第二個關鍵是 :A 跟 A8 有什麼關係? 現在比較有直圖 1 覺了 : 它們對稱 x 軸! 這是對的理由如下 : 以 O 為圓心,#OA 為半徑畫圓 ( 如圖 2), 則這個圓與橢圓 G 1 恰有四個交點 ( 在四個象限各有唯一的交點 ), 第一象限就是 A, 第四象限就是 A8( 因為 #OA =#OA8) 假設 A 關於 x 軸的對稱點為 P, 則 #OP = #OA (=#OA8) 可是在第四象限這種點是唯一的, 所以 A8=P, 於是我們證明了 A 與 A8 對稱 x 軸圖數學天地

4 讀者迴響回到圖 1, 故 qaov 1=q, 同理 qboh 1=q #OC 與 x 軸負向 #OD 與 y 軸負向的夾角都是 q c #OC 與 #BD 互相垂直平分 ( 平分當然是因為橢圓的對稱性 )c ABCD 為菱形這個菱形如果要變成矩形, 必然是正方形, 因此 #OA =#OB, 可是剛剛才證過在第二象限會滿足 #OP =#OA 的點 P 也只可能是 A 關於 y 軸的對稱點也就是說 : 正方形時 A B 是對稱 y 軸的, 這就得到 q=451, 表示旋轉 901 時 ABCD 才會是正方形第 2 題其實是比較好猜測的, 第 2 個選項, 稍具程度的學生都可以做出來, 設拋物線方程式為 x 2 =4cy, 將 y=rx-1 代入, 消去 y 得到 x 2 r4cx+4c=0, 解判別式 16c 2-16c=0 得 c=1 (c=0 不合 ), 故焦距為 1 是對的 ( 或者學生如果知道拋物線互相垂直的兩切線交點在其準線上, 就馬上知道焦距為 1( 註 1) 其他 3 個選項其實是同一個問題, 學生能不能想像將剛剛那個拋物線稍微傾斜 ( 應該要會這樣想像, 因為選項中就強烈的這樣暗示, 而且不歪的拋物線就只有這麼一個 :x 2 =4y 根據拋物線的軸對稱性, 不歪的拋物線, 其對稱軸若不是 y 軸, 是不可能同時與 y=x-1 y=-x-1 相切的 ; 因此如果還有其他拋物線會滿足所給的條件就必定是歪的 ), 然後跟三條直線還是相切? 感覺上這多半不行 ( 行也沒關係, 你就猜對這一題了, 但實際上是不行 ( 註 2))! 但是我們可以讓它只跟 y=x-1 y=-x-1 相切 ( 這一定辦得到 ), 而跟 x 軸不相切現在需要關鍵的想像力, 如果它還在 x 軸上方 ( 與 x 軸不相交的意思 ) 或交兩點 ( 實際上是不會交兩點 ), 我們是不是可以把這個拋物線變瘦或變胖, 讓它稍微移下來或移上去與 x 軸相切? 直覺告訴我這顯然是可行的, 因此第 13 選項都是錯的, 第 4 選項當然就對了我知道這樣講有人不滿意, 但我也只是就考試當時的實際情境論考題的解 ( 猜測 ) 法我提出我的看 ( 證 ) 法 : 先畫兩條互相垂直的直線 L 1 L 2, 令其交點為 C, 再作它們的一條分角線當做 y 軸 ( 如右圖 ), 取一條開口朝上, 對稱軸為 y 軸的拋物線, 然後讓頂點沿 y 軸緩緩平移而下, 直到它卡住 ( 相切的意思 )L 1 L 2 為止現在過 C 點作一條垂直 y 軸的直線往上平移, 直到它碰到拋物線為止 ( 這時它會切拋物線於頂點 ), 將此線取為 x 軸,C 點坐標取為 (0,-1), 則 L 1 的方程式就是 y=x-1,l 2 的方程式就是 y=-x-1, 而這條拋物線的方程式就是 x 2=4y 數學天地 131

5 現在提高這條拋物線並稍微傾斜它, 再讓它平移而下卡住 L 1 L 2, 它一定有一條水平切線 L:y=k( 切點一定不是拋物線的頂點, 因為過頂點的切線必定垂直對稱軸 ),k 一定大於 0 接下來我們只要先平移坐標軸, 保留 y 軸令 L 為 x 軸, 則 L 1 L 2 的方程式會變成 y=x- (k+1) y=-x-(k+1); 接著做 x 軸 y 軸的等比例伸縮 ( 即 x=(k+1)x,y=(k+1) Y), 則 L 1 L2 的方程式又會變成 Y=X-1 Y=-X-1, 於是我們等於變回原來的坐標系 ( 意思是 : 在經過兩次變換後的新坐標系中, 我們的三條切線方程式又回到原來的 x 軸 y=x-1 y=-x-1), 此時拋物線的方程式當然會改變 ( 它會變瘦一點, 也就是焦距小於 1( 註 3), 但它在新坐標系下仍舊是歪的 ( 註 4), 因此這條拋物線的方程式一定不是 x 2 =4y, 於是我們就證明了有一條歪的拋物線與 x 軸 y=x-1 y=-x-1 相切實際上這樣的拋物線是有無限多條的 ( 註 5) 還有一個問題, 伸縮是否保持相切? 答案是對的 ( 註 6) 我認為這兩道考題我們可以像上面所講的那樣教學生, 這是一個相當難得的機會, 他們會學到如何看待一個問題, 思考如何下手, 如何感覺, 如何想像, 如何做合理的推測這樣學生可以真正的學到處理數學問題的態度與方法, 最重要的 : 這樣很容易激發他們的想像力, 我們做老師的不一定要固守制式 ( 所謂正規 ) 的教法 ( 通常正規的教法就是缺乏創造力的教法 ), 教學絕對不是只有解題解題解題, 從各種不同的角度看問題, 對他們 ( 甚至是對我們 ) 都是有益無害的最後, 關於第 1 題, 我們把命題定為 : 若平面上有以坐標原點為中心的兩個橢圓, 已知這兩個橢圓的長軸長度相等, 短軸長度也相等, 並且兩橢圓相交於四個點今將此四點以坐標原點為中心, 反時鐘順序依次連成一個四邊形 ; 則這個四邊形必為菱形, 而且只有當兩個橢圓的長軸互相垂直時, 菱形才會變成正方形關於第 2 題, 我們把命題定為 : 若拋物線位於坐標平面之上半面 ( 即其 y 坐標 30), 並與 x_ 軸直線 y=x-1 直線 y=-x-1 相切 ; 則這種拋物線有無限多條, 其中不歪的只有一條 : x 2 =4y 我沒有用傳統的方式寫證明是因為有些時候數學的表達被過度精簡 ; 想想我們以前念書時讀過的天書, 嚴謹是夠嚴謹, 但是過度精鍊的數學語言, 其結果就是讀者痛苦萬分, 搞不懂為什麼要這樣做? 最重要的 : 想法是怎麼來的, 也都沒有交代我不想那樣, 所以才寫成這樣至於在第 2 題被批評得體無完膚之時, 我並不認為它有那麼差 ( 除了選項的同質性太高以外 ), 至少它可以治病保身, 延年益壽, 找回年輕時的熱情活力還有最重要的理想 F 321 數學天地

6 讀者迴響附註 1 令拋物線方程式為 x 2 =4cy, 則斜率為 m - 1 m 的切線方程式分別為 : y=mx-cm 2,y=- 1 m x- c m 2 c y=mx-cm2,m 2 y=-mx-c 解交點 : 兩式相加得 (m 2 +1)y=-c(m 2 +1)c y=-c, 此即準線, 這就表示兩互相垂直切線的交點在準線上反過來也成立 2 保留拋物線 x 2 =4y, 現在對它作兩條互相垂直的切線,L 18:y=mx-m 2, L 28:y=- 1 m x- 1 m 2, 其中 m>0,mπ1; 這表示如果把 L 18 L 28 想像成 L 1 L 2, 則拋物線 x 2 =4y 就是擺歪而與 L 1 L 2 相切的拋物線 L 18 L 28 的交點為 D(m- 1 m,-1), 作 L 18 L 28 的一條角平分線 ( 要選對 ) L:(m-1)x-(m+1)y-(m m )=0(L 就相當於原來的準線 :y=-1), 現在作拋物線 x 2 =4y 平行於 L 的切線 L8:y=( m-1 m-1 )x-( m+1 m+1 )2, (m 2 +1) 2 則 L 與 L8 的距離 d= m(m+1)a2s(sms 2 S+S1) c d2 = (m 2 +1) 3 2m 2 (m+1), 2 我們要證明的就是 d>1 令 f(m)=(m 2 +1) 3-2m 2 (m+1) 2 =m 6 +m 4-4m 3 +m 2 +1 =m 3 (m m 3+m+ 1 m -4), 只需證明 f(m)> 0 就表示 d 2 >1 c d>1 因為 m 3 >0, 故只需證明 m m 3+m+ 1 m -4>0 即可最後令 g(m)=m m 3+m+ 1 m -4, 並作變換 t=m+ 1 m >2, 則 g(m)=h(t)=t 3-2t-4,t >2 c h8(t)=3t 2-2>0 c h(t) 為遞增函數, 又 h(2)=0, 故在 t>2( 即 m>0,mπ1) 時,h(t)>0 這就表示 L 與 L 1 的距離超過 1, 也就是實際上傾斜這條焦距為 1 的拋物線 x 2 =4y, 並讓它跟 L 1:y=x-1 與 L 2:y=-x-1 相切時, 它不會與 x 軸相切, 也不會與 x 軸交兩點, 它會數學天地 133

L0:(y-y 0)=m(x-x 0) 如果我們做 x=ax,y=by 的伸縮, 則 P 0(x 0,y 0) 變成 P1( x0 a, y0 b ), L 0:(y-y 0)=m(x-x 0) 變成 L 1:bY-b( y0 x0 )=m(ax-a b a ), 即 L 1:Y- y0 b =am

7 整個卡在 x 軸上方 ( 這個證明有點長, 希望有更簡單的純幾何證明 ) 因此拋物線必須變瘦一點 ( 那個等比例伸縮就會使它變瘦 ), 也就是焦距要比 1 小, 開口要小一點, 才有可能與 x 軸相切 3 同註 2 以上的論述, 不影響我們對該命題的證明 4 假設這條歪的拋物線其對稱軸為 ax+by+c=0, 平移後方程式會變成 ax+by+d=0; 等比例伸縮後方程式會變成 ax+by+e=0, 它的斜率始終不變 ; 因此在新坐標系下, 這條拋物線仍舊是歪的 5 根據 [3], 我們做不同程度的傾斜一定產生不同的拋物線 6 假設原系統的切點為 P0(x 0,y 0), 切線為 L0:(y-y 0)=m(x-x 0) 如果我們做 x=ax,y=by 的伸縮, 則 P 0(x 0,y 0) 變成 P1( x0 a, y0 b ), L 0:(y-y 0)=m(x-x 0) 變成 L 1:bY-b( y0 x0 )=m(ax-a b a ), 即 L 1:Y- y0 b =am x0 (Xb a ) 我們只需證明斜率會由 m 變成 am b 即可 m=lim y-y 0 x-x 0 c lim y Y-( 0 b ) x-( x0 a ) = a b lim by-b( y0 b ) ax-a( x0 a ) = a b lim y-y 0 x-x 0 = am b 341 數學天地

二次曲線人們對於曲線的使用及欣賞比曲線被視為一種數學題材來探討要早得多各種曲線中在日常生活常接觸的當然比較容易引起人們的興趣比如投擲籃球的路徑是拋物線盤子的形狀有圓形或橢圓形雙曲線是較不常見的然而根據科學家的研究彗星的運行軌道是雙曲線的一部分我們將拋物線圓與橢圓雙曲

二次曲線人們對於曲線的使用及欣賞比曲線被視為一種數學題材來探討要早得多各種曲線中在日常生活常接觸的當然比較容易引起人們的興趣比如投擲籃球的路徑是拋物線盤子的形狀有圓形或橢圓形雙曲線是較不常見的然而根據科學家的研究彗星的運行軌道是雙曲線的一部分我們將拋物線圓與橢圓雙曲 -1 圓方程式第章二次曲線 38 二次曲線人們對於曲線的使用及欣賞比曲線被視為一種數學題材來探討要早得多各種曲線中在日常生活常接觸的當然比較容易引起人們的興趣比如投擲籃球的路徑是拋物線盤子的形狀有圓形或橢圓形雙曲線是較不常見的然而根據科學家的研究彗星的運行軌道是雙曲線的一部分我們將拋物線圓與橢圓雙曲線合稱為圓錐曲線因為在平面坐標系中其對應的方程式均為二元二次式