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1 第五章 受弯构件正截面承载力的计算 西安交通大学土木工程系杨政

2 受弯构件通常指截面上仅有弯矩或弯矩和剪力共同作用为主 轴力可以忽略不计的构件 楼板 柱 楼梯 墙 地下室底板 梁 梁 墙下基础 柱下基础

3 梁和板是典型的受弯构件, 它们是土木工程中使用数量最大 应用最广泛的一类构件 土木工程结构中受弯构件常用的截面形式有矩形 T 形 工字形 槽形和箱形等

4 5.1 受弯构件正截面的受力特性 单筋矩形适筋梁正截面受弯的受力过程和破坏形态 素混凝土梁的抗弯试验 ( 时长 39 秒 ) 混凝土适筋梁的抗弯试验 ( 时长 9 分 42 秒 )

5 混凝土超筋梁的抗弯试验 ( 时长 2 分 55 秒 )

6 混凝土少筋梁的抗弯试验 ( 时长 1 分 51 秒 )

7 适筋梁正截面受弯破坏的三个阶段 5.1 受弯构件正截面的受力特性

8 5.1 受弯构件正截面的受力特性

9 钢筋混凝土梁荷载 - 位移曲线 5.1 受弯构件正截面的受力特性

10 适筋梁正截面受弯三个受力阶段的主要特点 主要特点 受力阶段 第 I 阶段第 II 阶段第 III 阶段 习性未裂阶段带裂缝工作阶段破坏阶段特征外观特征没有裂缝, 挠度很小有裂缝, 挠度还不明显钢筋屈服, 裂缝宽, 挠度大 弯矩 (- 荷载截面曲率关 )- 曲率 ( 挠度 ) 关系系 大致成直线曲线接近水平的曲线 混受凝压土区应力受图拉形区纵向受拉钢筋应力 直线 前期为直线, 后期为有上升段的直线, 应力峰值不在受拉区边缘 2 σ s 20 ~ 30N/mm 受压区高度减小, 混凝土压应力图形为上升段的曲线, 应力峰值在受压区边缘 大部分退出工作 2 20 ~ 30N/mm σ s f y 受压区高度进一步减小, 混凝土压应力图形为较丰满的曲线, 后期为有上升段和下降段的曲线, 应力峰值不在受压区边缘而在边缘的内侧 绝大部分退出工作 < < σ s = f y 在设计计算中的作作用用 用于裂缝宽和挠用于抗裂验算用于抗裂验算度验算用于正截面受弯承载力计算用于正截面抗弯承载力计算 5.1 受弯构件正截面的受力特性

11 适筋破坏形态 超筋破坏形态 少筋破坏形态 不同破坏形态梁的 M-f 曲线 5.1 受弯构件正截面的受力特性

12 适筋破坏形态受拉钢筋先屈服, 受压区混凝土后压坏, 破坏前有明显预兆 裂缝 变形急剧发展, 为 塑性破坏 超筋破坏形态受压区混凝土先压碎, 钢筋不屈服, 破坏前没有明显预兆, 为 脆性破坏 钢筋的抗拉强度没有被充分利用 少筋破坏形态构件一裂就坏, 无征兆, 为 脆性破坏 未能充分利用混凝土的抗压强度 5.1 受弯构件正截面的受力特性

13 5.2 受弯构件正截面的受力过程的理论分析 正截面分析 平衡条件 物理条件 变形条件 弹性分析 弹塑性分析 全塑性分析

14 5.2.1 受弯截面的弹性分析 1. 第 Ⅰ 阶段 ( 开裂前 ) 平衡条件 物理条件 变形条件 5.2 受弯构件正截面的受力过程的理论分析

15 X = 0 x n 0 0 h x n σbdy σbdy σ A = xn h xn M = 0 M yσbdy yσbdy σ A ( h x ) = s s 0 s s 0 n 平衡条件 物理条件 σ σ = E ε = E c ε s s s = ε = φ( h x ) ε φ y s 0 n 变形条件 5.2 受弯构件正截面的受力过程的理论分析

16 中和轴位置 x h n 0 = 式中 : As ρ = bh 2 h + αeρ h0 h + αeρ h 0 Es α E = E c 按弹性分析, 在第 Ⅰ 阶段中, 中和轴位置不变, 它与 h/h 0 及 α E ρ 值有关, 而与弯矩 M 值的大小无关 同时,x n /h 值略大于但接近于 0.5, 表明中和轴在略偏于受拉区的截面半高处附近 如截面为无纵向钢筋的纯混凝土截面 (ρ =0), 则 x n /h=0.5, 即中和轴在截面的半高处 5.2 受弯构件正截面的受力过程的理论分析

17 换算截面 换算截面积 换算惯性矩 A0 = bh +αeas ( x ) 3 3 bx b h n n 0 = + + αe s 0 n ( ) I A h x 受弯构件正截面的受力过程的理论分析

18 弯矩与曲率的关系 ( 即内力与变形的关系 ) M = EIφ c 0 抗弯刚度 M B = = EI c 0 φ B 是一个常数, 说明, 按弹性分析, 在第 Ⅰ 阶段中, 受弯截面的抗弯刚度不变, 与弯矩 M 的大小无关 抗弯刚度的单位是 N mm 2 弯矩与应力的关系 M σ = Ecφy = Ec y = EI ( ) σ = Eφ h x = α s s 0 n E My I c 0 0 M h ( x ) 0 n I 受弯构件正截面的受力过程的理论分析

19 2. 第 Ⅰ 阶段末 ( 混凝土即将开裂 ) σ tp σ 受拉区边缘混凝土拉应力 σ 2 达到其抗拉强度 σ tp ( ) M h x = = σ cr n 2 tp I0 M cr = σ tp ( h x ) x n 为截面开裂前的受压区高度 ; I 0 为截面开裂前的换算截面的惯性矩 5.2 受弯构件正截面的受力过程的理论分析 I 0 n

20 3. 第 Ⅱ 阶段 ( 受拉区混凝土开裂后 ) 受拉区混凝土拉应力超过其抗拉强度时截面开裂, 受拉区混凝土不再受力 平衡条件 物理条件 变形条件 5.2 受弯构件正截面的受力过程的理论分析

21 X = 0 x n 0 0 h x n σbdy σbdy σ A = xn h xn M = 0 M yσbdy yσbdy σ A ( h x ) = s s 0 s s 0 n 平衡条件 物理条件 σ σ = E ε = E c ε s s s = ε = φ( h x ) ε φ y s 0 n 变形条件 5.2 受弯构件正截面的受力过程的理论分析

22 中和轴位置换算截面换算截面积换算惯性矩 x h n 0 ( ) 2 = α ρ + 2α ρ α ρ E E E A0 = bxn +αeas bx I A h x 3 3 n 0 = + αe s 0 n ( ) 受弯构件正截面的受力过程的理论分析

23 弯矩与曲率的关系 ( 即内力与变形的关系 ) M = EIφ c 0 抗弯刚度 M B = = EI c 0 φ B 是一个常数, 说明, 按弹性分析, 在第 Ⅱ 阶段中, 受弯截面的抗弯刚度不变, 与弯矩 M 的大小无关 弯矩与应力的关系 M My σ = Ecφy = Ec y = EI c 0 I0 M ( h0 xn) σs = Esφ( h0 xn) = αe I 以上表达式形式与第 Ⅰ 阶段的表达式相同, 但公式中的 I 0 值为开裂后的 I 受弯构件正截面的受力过程的理论分析

24 4. 第 Ⅱ 阶段末 ( 纵筋屈服 ) f y 纵筋应力达到其屈服强度 f y σ = f = α s y E ( ) M h x y 0 n I 0 M y = α I 0 ( h x ) E 0 n f y x n 为截面开裂后的受压区高度 ; I 0 为截面开裂后的换算截面的惯性矩 5.2 受弯构件正截面的受力过程的理论分析

25 5.2.2 受弯截面的弹塑性分析 平衡条件 物理条件 混凝土受压 变形条件 钢筋受拉 混凝土受拉 5.2 受弯构件正截面的受力过程的理论分析

26 1. 第 Ⅰ 阶段 ( 开裂前 ) 平衡条件 物理条件 变形条件 5.2 受弯构件正截面的受力过程的理论分析

27 X = 0 x n 0 0 h x n σbdy σbdy σ A = xn h xn M = 0 M yσbdy yσbdy σ A ( h x ) = s s 0 s s 0 n 平衡条件 变形条件 物理条件 σ = E ε s s s = ε = φ( h x ) ε φ y s 0 n 2ε ε σ = f c ε p ε p 2ε ε σ = f t ε tp ε tp 受弯构件正截面的受力过程的理论分析

28 中和轴位置 ( h x ) 3 3 fb c 2 φx n fb t 2 φ n xn ( h xn) Es( h0 xn) As = ε p 3ε p εtp 3εtp x n 可由上式解得, 显然, 此时的 x n 不是一个常数, 它与曲率 φ( 或 M) 的大小有关 0 弯矩与曲率的关系 ( 即内力与变形的关系 ) ( h x ) fb M = x + h x + E h x A ε ε ε ε 4 4 c φ 2 3 φxn fb t φ 2 3 φ n 2 n ( n) sφ ( 0 n) s p 3 4 p tp 3 4 tp 显然, 弯矩与曲率并不成线性关系 5.2 受弯构件正截面的受力过程的理论分析

29 抗弯刚度 B M = φ fb 2 φx fb 2 φ( h x ) = + + ε ε ε ε 2 2 c 3 n t 3 n 2 ( xn ) ( h xn) Es( h0 xn) As p 3 4 p tp 3 4 tp 按弹塑性分析时, 混凝土开裂之前, 抗弯刚度不是常数 弯矩与应力的关系 2φy φy σ = f c ε p ε p 2 ( ) σ = E φ h x s s 0 n 2φy φy σ = f t ε tp ε tp 5.2 受弯构件正截面的受力过程的理论分析 2

30 2. 第 Ⅰ 阶段末 ( 混凝土即将开裂 ) 受拉区边缘的混凝土拉应变达到其极限拉应变 ε tu 第 Ⅰ 阶段末曲率为 φ ε tu = φcr = h x cr 5.2 受弯构件正截面的受力过程的理论分析

31 中和轴位置 x cr 可由下式解得 ( ) ( h x ) 3 3 fb c ε tu 2 εtu x cr fb t ε tu 2 ε tu cr xcr ( h xcr ) εp h x cr h xcr 3ε p εtp h xcr h xcr 3εtp ε E h x A = 0 tu s 0 cr s h xcr 第 Ⅰ 阶段末的弯矩抗弯刚度 M cr fb ε 2 = ε ε 4 c tu 3 tu cr xcr p h x cr 3 h xcr 4εp x ( h x ) fb + + ε 4 t εtu 2 3 εtu cr εtu 2 ( h xcr ) Es ( h0 xcr ) As tp h x cr 3 h xcr 4ε tp h xcr 5.2 受弯构件正截面的受力过程的理论分析 B cr = M φ cr cr

32 3. 第 Ⅱ 阶段 ( 混凝土开裂后 ) 平衡条件 物理条件 变形条件 5.2 受弯构件正截面的受力过程的理论分析

33 X = 0 x n 0 0 h x n σbdy σbdy σ A = xn h xn M = 0 M yσbdy yσbdy σ A ( h x ) = s s 0 s s 0 n 平衡条件 变形条件 物理条件 σ = E ε s s s = ε = φ( h x ) ε φ y s 0 n 2ε ε σ = f c ε p ε p 2ε ε σ = f t ε tp ε tp 受弯构件正截面的受力过程的理论分析

34 中和轴位置 3 fb c φ 2 φx n xn Esφ ( h0 xn) As = 0 ε p 3ε p x n 可由上式解得, 显然, 此时的 x n 不是一个常数, 它与曲率 φ( 或 M) 的大小有关 弯矩与曲率的关系 ( 即内力与变形的关系 ) fbφ 2 φx 4 c 3 n 2 M = xn + Esφ ( h0 xn) As ε p 3 4ε p 显然, 弯矩与曲率并不成线性关系 5.2 受弯构件正截面的受力过程的理论分析

35 4. 第 Ⅱ 阶段末 ( 纵筋屈服 ) 第 Ⅱ 阶段末曲率为 纵筋拉应力到达其屈服强度 f y, 拉应变为 ε y φ = φ = y h ε y x 0 y 5.2 受弯构件正截面的受力过程的理论分析

36 中和轴位置 x y 可由下式解得 ε x = 3 c y 2 y y xy fyas p h0 x y h0 xy 3ε p fb ε ε 0 第 Ⅱ 阶段末的弯矩 M ε x ε x f A h x 4 fb c y 2 3 y y y = y + y s 0 y εp h0 x y 3 h0 xy 4ε p ( ) 抗弯刚度 B y = M φ y y 5.2 受弯构件正截面的受力过程的理论分析

37 5. 第 Ⅲ 阶段 ( 纵筋屈服后 ) 平衡条件 物理条件 变形条件 5.2 受弯构件正截面的受力过程的理论分析

38 X = 0 0 x n σ h x n bdy σbdy f A = xn h xn M = 0 M yσbdy yσbdy f A ( h x ) 0 = y s 0 y s 0 n 平衡条件 变形条件 物理条件 σ = s = ε = φ( h x ) ε φ y fy s 0 n 2ε ε σ = f c ε p ε p 2ε ε σ = f t ε tp ε tp 受弯构件正截面的受力过程的理论分析

39 中和轴位置 fb c φ x ε p φx = 3 2 n n fyas 3ε p x n 可由上式解得, 显然, 此时的 x n 不是一个常数, 它与曲率 φ( 或 M) 的大小有关 0 弯矩与曲率的关系 ( 即内力与变形的关系 ) fbφ 2 φx 4 c 3 n M = xn + fyas h0 xn ε p 3 4ε p ( ) 显然, 弯矩与曲率并不成线性关系 5.2 受弯构件正截面的受力过程的理论分析

40 6. 第 Ⅲ 阶段末 ( 受压区混凝土压坏 ) 受压区边缘混凝土达到其极限压应变 ε u, 而被压坏, 整个截面不再能承担更大的弯矩 第 Ⅲ 阶段末曲率为 φ = φ = u ε u x u 5.2 受弯构件正截面的受力过程的理论分析

41 中和轴位置 x u 可由下式解得 fb c ε p ε x ε 1 f A = 0 u u u y s 3ε p 第 Ⅲ 阶段末的弯矩 x h u = ε ε 0 u u c 0 p 1 ε 1 3 ε p fy As f bh M fb = ε x 2 ε + f A h x ( ) c 2 u u u u y s 0 u ε p 3 4ε p 抗弯刚度 B u = M φ u u 5.2 受弯构件正截面的受力过程的理论分析

42 第 Ⅲ 阶段末的弯矩 M fb = ε x 2 ε + f A h x ( ) c 2 u u u u y s 0 u ε p 3 4ε p x h u = ε ε 0 u u c 0 p 1 ε 1 3 ε p fy As f bh 1 ε 1 u 3 4ε f A M f A h p y s u = y s ε fc bh0 u ε u 1 ε p 3 ε p 取 ε p =0.002 及 ε u = M = f A f ρ h y u y s 0 fc 5.2 受弯构件正截面的受力过程的理论分析

43 受弯截面弹性分析与弹塑性分析比较 5.2 受弯构件正截面的受力过程的理论分析

44 5.2.3 受弯截面的塑性分析 平衡条件 物理条件 混凝土受压 变形条件 钢筋受拉 混凝土受拉 5.2 受弯构件正截面的受力过程的理论分析

45 平衡条件 物理条件 变形条件 5.2 受弯构件正截面的受力过程的理论分析

46 X = 0 α 1fcbx = fyas M = 0 x Mu = α1fcbx + fyas ( h0 x) 2 平衡条件 满足变形条件 ( 平截面假设 ) 变形条件 物理条件 σ = α f 1 c σ = s fy 5.2 受弯构件正截面的受力过程的理论分析

47 中和轴位置 x = fa y 1 c s α fb x h fy = α f 0 1 c ρ 极限弯矩 M = fa f ρ h y u y s 0 α1fc 5.2 受弯构件正截面的受力过程的理论分析

48 全塑性分析与弹塑性分析的比较 1 ε 1 u 3 4ε f A M f A h p y s u = y s ε fc bh0 u ε u 1 ε p 3 ε p 取 ε p =0.002 及 ε u = M = f A f ρ h y u y s 0 fc 弹塑性分析 选取不同系数 α 1 全塑性分析 M = fa f ρ h y u y s 0 α1fc 5.2 受弯构件正截面的受力过程的理论分析

49 第四章钢筋混凝土轴心受力构件 问题 : 1 钢筋混凝土受弯构件正截面适筋破坏分哪三个阶段? 各阶段末的标志是什么? 2 画出钢筋混凝土受弯构件正截面适筋破坏第三阶段末的计算简图, 并列出其基本方程

50 解答 : 1 钢筋混凝土受弯构件正截面适筋破坏分哪三个阶段? 各阶段末的标志是什么? 钢筋混凝土梁荷载 - 位移曲线 5.1 受弯构件正截面的受力特性

51 第四章钢筋混凝土轴心受力构件 2 画出钢筋混凝土受弯构件正截面适筋破坏第三阶段末的计算简图, 并列出其基本方程

52 第四章钢筋混凝土轴心受力构件 2 画出钢筋混凝土受弯构件正截面适筋破坏第三阶段末的计算简图, 并列出其基本方程 X = 0 0 x n σbdy f A = xn M = 0 M = yσ bdy + fy As( h0 xn) = ε = φ( h x ) ε φ y 0 s 0 n y s 0 2ε ε σ = f c ε p ε p σ = f s y 2

53 5.3 受弯构件正截面承载力计算原理 正截面承载力计算的基本假定 混凝土结构设计规范 (GB ) 规定, 包括受弯构件在内的各种混凝土构件的正截面承载力, 按下列四个基本假定进行计算 : 1 平截面假定 : 梁截面的平均变形符合平截面假定, 即梁弯曲后, 截面上各点的应变与该点到中和轴的距离成正比, 并假定钢筋与其周围混凝土的应变相同 ; 2 受拉区混凝土不参加工作, 拉力全由钢筋承担 ; 3 混凝土受压的应力 - 压应变关系曲线 :

54 当 ε ε p 时 ( 上升段 ) 当 ε p ε εu < 时 ( 水平段 ) ε σ = f c 1 1 ε p 式中 n 1 n= ( fcu,k ) u p σ = f c 5 ( fcu,k ) ε = ( fcu,k ) ε = 纵向钢筋的应力等于钢筋应变与其弹性模量的乘积, 但其绝对值不大于相应的强度设计值, 受拉钢筋的极限拉应变取 0.01, 即 σ = E ε f σ s s s y ' ' ' ' s = Esεs fy εs 受弯构件正截面承载力计算原理

55 当 ε ε p 时 ( 上升段 ) 当 ε p ε εu < 时 ( 水平段 ) ε σ = f c 1 1 ε p 式中 40 C80, f c =35.9 N/mm 2 35 (ε 0, f c ) C70, f c =31.8 N/mm 2 (ε u, f c ) 30 C60, f c =27.5 N/mm 2 n 1 n= ( fcu,k ) u p σ = f c ( fcu,k ) 5 ( fcu,k ) 5 ε = ε = σ, N/mm C50, f c =23.1 N/mm 2 C40, f c =19.1 N/mm 2 C30, f c =14.3 N/mm 2 C20, f c =9.6 N/mm ε 混凝土单轴受压应力 - 应变曲线 5.3 受弯构件正截面承载力计算原理

56 钢筋的应力 - 应变关系 σ s = Esε s fy ' ' ' ' σ = E ε f 500 s s s y εs HRB500, f y '=410N/mm 2 HRB500, f y =435N/mm 2 σ s, N/mm HRB400, f y =f y '=360N/mm 2 HRB335, f y =f y '=300N/mm 2 HPB300, f y =f y '=270N/mm ε 不同强度钢筋的应力 - 应变关系 5.3 受弯构件正截面承载力计算原理

57 正截面承载力计算的力学模型 5.3 受弯构件正截面承载力计算原理

58 5.3.2 等效应力分布图 等效应力图形, 只要能满足 :1 面积与理论应力图形面积相等, 即混凝土总压力 C 的大小不变 ;2 等效应力图形面积的形心与理论应力图形面积的形心重合, 即 C 的作用位置不变这两个条件, 就不会影响 M u 的计算结果 5.3 受弯构件正截面承载力计算原理

59 等效矩形应力图可由两个无量纲特征值 α 1 和 β 1 确定 β = 1 2 ε 1 ε + p p 1 3 εu 6 εu ε p 1 3 ε u 2 α 1 1 ε 1 p = β1 3 ε u C 受弯构件正截面承载力计算原理

60 β 1 α 1 一般情况下的表达式 β = 1 ( n )( n ) λ ( n ) ( n+ 2)( n+ 1 λ ) λ α 1 = 1 n + 1 λ β n λ = ε ε p u α 1 和 β 1 仅与混凝土应力 - 应变曲线有关 5.3 受弯构件正截面承载力计算原理

61 为简化计算, 混凝土结构设计规范 (GB ) 规定, 强度等级低于或等于 C50 的混凝土, 取 α 1 =1.0,β 1 =0.8; 强度等级等于 C80 的混凝土, 取 α 1 =0.94,β 1 =0.74; 强度等级高于 C50 而低于 C80 混凝土的系数 α 1 和 β 1 分别在 1~0.94 之间和 0.8~0.74 之间, 5.3 受弯构件正截面承载力计算原理

62 力平衡条件 力矩平衡条件 M α fbx= f A 1 c y s = α f bx h u 1 c 0 x 2 或 Mu = fyas h0 x 受弯构件正截面承载力计算原理

63 5.3.3 适筋截面与超筋截面的界限及界限配筋率 截面达到抗弯极限状态时, 受拉纵筋屈服与受压区边缘混凝土破坏的先后顺序是判断截面是否超筋的标准 当受拉纵筋达到屈服和受压区边缘混凝土破坏同时发生时, 即为适筋截面与超筋截面的界限破坏 5.3 受弯构件正截面承载力计算原理

64 界限破坏时 x h nb = ε u ε + ε 0 u y xb ε u = β h ε + ε 1 0 u y ξ b x = = h b 1 0 β fy 1+ E ε s u 平截面假定 x = β x b 1 nb ε = y f E y s x b 为界限受压区计算高度 ; ξ b 为界限受压区相对计算高度 5.3 受弯构件正截面承载力计算原理

65 ε = y f E y s 无屈服点的钢筋 ξ b x = = h b 1 0 β fy 1+ E ε s u f y ε y = + Es 有屈服点的钢筋 ξ b = β ε f y E ε u s u 5.3 受弯构件正截面承载力计算原理

66 界限受压区相对计算高度与纵向钢筋的屈服强度 弹性模量和混凝土的极限压应变有关 截面的界限受压区相对计算高度 ξ b 也与截面的最大配筋率 ρ max 之间存在对应关系 力的平衡条件 α1fb c ξ bh0 = fyasmax ρ max A = = ξ bh α f smax 1 c b 0 fy 5.3 受弯构件正截面承载力计算原理

67 5.3 受弯构件正截面承载力计算原理

68 5.3.4 受弯截面的最小配筋率 少筋破坏的特点是一裂就坏, 从理论上讲, 纵向受拉钢筋的最小配筋率 ρ min 可以由钢筋混凝土受弯构件正截面承载力与其开裂载荷相等为条件来确定 但是, 考虑到混凝土抗拉强度的离散性, 以及混凝土收缩等因素的影响, 所以在实际应用时, 最小配筋率 ρ min, 往往是根据传统经验得出的 为防止梁 一裂就坏, 梁的配筋率应大于 h ρmin h 受弯构件正截面承载力计算原理

69 5.3.5 单筋矩形截面受弯构件正截面承载力计算 只在截面受拉区配置纵向受力钢筋的矩形截面, 称为单筋矩形截面 单筋矩形截面除了在受拉区配置纵向受力钢筋外, 还配有架立钢筋和箍筋 纵向受力钢筋 架立钢筋和箍筋绑扎在一起形成钢筋骨架 受压区的架立钢筋虽然受压, 但数量很少, 对正截面抗弯承载力的贡献很小, 只起构造上的架立作用, 所以计算时不考虑它的抗弯作用 5.3 受弯构件正截面承载力计算原理

70 钢筋混凝土受弯构件正截面承载力计算是以其受弯第 Ⅲ 阶段末为基础 受拉区混凝土退出工作 第 Ⅲ 阶段末 受压区混凝土破坏应力分布简化为矩形分布 σ c =α 1 f c 受拉区受拉钢筋受拉屈服 σ s =f y 5.3 受弯构件正截面承载力计算原理

71 力平衡条件 力矩平衡条件 M α fbx= f A 1 c y s = α f bx h u 1 c 0 x 2 或 Mu = fyas h0 x 受弯构件正截面承载力计算原理

72 纵筋合力点位置 a s 若取 c=25mm, 计算时, 单排钢筋梁 a s 一般取 35 mm; 双排钢筋梁 a s 一般取 60 mm 5.3 受弯构件正截面承载力计算原理

73 计算公式的适用条件 构件适筋破坏条件 防止构件超筋破坏 x ξbh0 M x = ξ h b 0 ( ) = α f bh ξ ξ 2 u,max 1 c 0 b b x > ξ h 若 b 0 或 ρ ρ = ξ max b α f 1 c f y 单筋矩形截面的最大抗弯承载力 防止构件少筋破坏 A s ρ min bh M > M u,max 加大构件截面或采用双筋截面 5.3 受弯构件正截面承载力计算原理

74 单筋矩形截面极限弯矩与配筋率的关系单筋矩形适筋截面 ξ x h fa y s = = = α f bh 0 1 c 0 m ρ α M u 2 1fbh c 0 φ u ( ) m ( 1 0.5m ) = ξ ξ = ρ ρ ε u βε 1 u βε 1 u βε 1 u = = = = x x ξh m ρ h n 0 0 式中 m = f y α f 1 c ρ = A s bh 受弯构件正截面承载力计算原理

75 单筋矩形超筋截面 截面破坏时, 受拉钢筋未屈服, 其应力 σ s <f y 平衡条件平截面假定物理条件 M α fbξh = σ A 1 c 0 s s ( ) 2 u = 1fcbh α ξ ξ ξ ε = β ε ε u σ 1 u + s = Es s s ε α ξ = M u 2 1fbh c 0 s s 1 u = ξ ( 1 0.5ξ ) σ ε β = = 1 ε f ε ξ ε 2 2 D + 4D 1 D ρ ρβ ρ 2 y y y φ u ε βε u 1 u = = Esε u xn ξh D = 0 α f 1 c 5.3 受弯构件正截面承载力计算原理

76 5.3 受弯构件正截面承载力计算原理

77 0.5 HRB400, f y =360 N/mm M u /f c bh C20, f c =9.6 N/mm 2 C30, f c =14.3 N/mm 2 C40, f c =19.1 N/mm 2 C50, f c =23.1 N/mm (ρ b, M ub /f c bh 0 2 ) C60, f c =27.5 N/mm 2 C70, f c =31.8 N/mm 2 C80, f c =35.9 N/mm ρ 混凝土强度对单筋矩形截面极限弯矩与配筋率关系的影响 5.3 受弯构件正截面承载力计算原理

78 C50, f c =23.1 N/mm 2 M u /f c bh HPB300, f y =270 N/mm 2 HRB335, f y =300 N/mm 2 HRB400, f y =360 N/mm 2 HRB500, f y =435 N/mm 2 (ρ b, M ub /f c bh 2 0 ) ρ 钢筋强度对单筋矩形截面极限弯矩与配筋率关系的影响 5.3 受弯构件正截面承载力计算原理

79 β1ε u φu ξh0 ξb = = φ βε ub 1 u ξ ξ h b 受弯构件正截面承载力计算原理

80 HRB400, f y =360 N/mm 2 φ u /φ ub C20, f c =9.6 N/mm 2 C30, f c =14.3 N/mm 2 C40, f c =19.1 N/mm 2 C50, f c =23.1 N/mm 2 C60, f c =27.5 N/mm 2 C70, f c =31.8 N/mm 2 C80, f c =35.9 N/mm ρ 混凝土强度对单筋矩形截面相对曲率延性的影响 5.3 受弯构件正截面承载力计算原理

81 C50, f c =23.1 N/mm 2 φ u /φ ub HPB300, f y =270 N/mm 2 HRB335, f y =300 N/mm 2 HRB400, f y =360 N/mm 2 HRB500, f y =435 N/mm ρ 钢筋强度对单筋矩形截面相对曲率延性的影响 5.3 受弯构件正截面承载力计算原理

82 5.3 受弯构件正截面承载力计算原理

83 σ s, N/mm C50, f c =23.1 N/mm 2 HPB300, f y =270 N/mm 2 HRB335, f y =300 N/mm 2 HRB400, f y =360 N/mm 2 50 HRB500, f y =435 N/mm ρ 钢筋强度对单筋矩形截面钢筋应力 - 配筋率关系的影响 5.3 受弯构件正截面承载力计算原理

84 σ s, N/mm C20, f c =9.6 N/mm 2 C30, f c =14.3 N/mm 2 C40, f c =19.1 N/mm 2 C50, f c =23.1 N/mm 2 C60, f c =27.5 N/mm 2 C70, f c =31.8 N/mm 2 C80, f c =35.9 N/mm 2 HRB400, f y =360 N/mm ρ 混凝土强度对单筋矩形截面钢筋应力 - 配筋率关系的影响 5.3 受弯构件正截面承载力计算原理

85 5.3.6 双筋矩形截面受弯构件正截面承载力计算 如果在受压区配置数量较多的纵向受压钢筋, 不仅起架立钢筋的作用, 而且对正截面抗弯承载力也有较大作用 在正截面受弯承载力计算时, 受拉区钢筋和受压区钢筋对截面抗弯承载力的作用同时都要考虑, 这种配筋的截面称为双筋截面 尽管受压区配置纵向钢筋对截面延性 抗裂性 变形等有利, 但通常双筋截面构件的用钢量比单筋截面构件多, 采用纵向受压钢筋协助混凝土承受压力不经济 因此, 为了节约钢材, 尽可能不要将截面设计成双筋截面 5.3 受弯构件正截面承载力计算原理

86 双筋截面只在下面几种情况使用 : (1) 弯矩很大, 超过了单筋截面所能承担的最大弯矩, 而截面尺寸又受到限制, 混凝土强度等级也不能提高, 按单筋截面设计必然成为超筋截面 (2) 结构或构件承受某种交变作用 ( 如地震 ), 截面上的弯矩正负交替变化 (3) 结构或构件截面的受压区已预先布置了一定数量的受力钢筋 5.3 受弯构件正截面承载力计算原理

87 钢筋混凝土受弯构件双筋正截面承载力计算与单筋截面相同, 也是以其受弯的第 Ⅲ 阶段末为基础 受拉区混凝土退出工作 第 Ⅲ 阶段末 受压区混凝土破坏应力分布简化为矩形分布 受拉区受拉钢筋受拉屈服 σ c =α 1 f c σ s =f y 受压区受拉钢筋受压屈服 σ s = f ' y 5.3 受弯构件正截面承载力计算原理

88 力平衡条件 力矩平衡条件 α f bx + f A = f A ' ' 1 c y s y s x M = α f bx h + f A h a 2 ( ) ' ' ' u 1 c 0 y s 0 s 5.3 受弯构件正截面承载力计算原理

89 抗弯极限状态时受压区纵向钢筋屈服条件 截面几何条件 ' ' ' xn a s β1a s ' εs = εu = 1 εu εy xn x x ε u ε u ε ' y β a ' 1 s 为方便起见 统一取 x 2a' s 5.3 受弯构件正截面承载力计算原理

90 为方便起见统一取 x 2a' s 为方便起见统一取 x 2a' s 5.3 受弯构件正截面承载力计算原理

91 计算公式的适用条件 构件适筋破坏条件 防止构件超筋破坏 x ξbh0 x 若 b 0 x = ξ h > ξ h b 0 M f bh f bh 1 a ' 2 ' ' 2 s u,max = α1 c 0ξb ( ξb ) + yρ 0 h0 双筋矩形截面的最大抗弯承载力 防止构件少筋破坏 保证受压区纵筋屈服 x A 在双筋截面中一般均能满足 s ρ min 2a ' s bh M > M u,max 加大构件截面或增加受压区钢筋 5.3 受弯构件正截面承载力计算原理

92 双筋矩形截面极限弯矩与配筋率的关系 ' s 当 2 a < ξ < ξb 时, 受拉区纵向钢筋和受压区纵向钢 h 0 筋均屈服, 双筋截面的抗弯承载力与配筋率的关系为 M ' ' ' ' ' u s ( ' ' 1 a ) 1 m ρ m m m m ρ = ρ ρ ρ 2 + α1fbh c 0 h0 2 式中 m = m ' = f y α f 1 c f ' y α f 1 c ρ = ' ρ = A s bh 0 A bh ' s 受弯构件正截面承载力计算原理

93 双筋矩形截面极限弯矩与配筋率的关系 0.8 M u /f c bh C50, f c =23.1 N/mm 2 HRB400, f y =360 N/mm 2 HRB400, f ' y =360 N/mm 2 a' s /h 0 =0.05 ρ'=0 ρ'=0.005 ρ'=0.010 ρ'=0.015 ρ'= 受压区配筋率对双筋矩形截面弯矩 - 受拉区配筋率关系的影响 ρ M u /f c bh C50, f c =23.1 N/mm 2 HRB400, f y =360 N/mm 2 HRB400, f ' y =360 N/mm 2 a' s /h 0 = ρ +ρ' ρ'=0 ρ'=0.005 ρ'=0.010 ρ'=0.015 ρ'=0.020 受压区配筋率对双筋矩形截面弯矩 - 总配筋率关系的影响 5.3 受弯构件正截面承载力计算原理

94 双筋矩形截面极限曲率与配筋率的关系 5 C50, f c =23.1 N/mm 2 4 HRB400, f y =360 N/mm 2 HRB400, f ' y =360 N/mm 2 a' s /h 0 =0.05 φ u /φ ub 3 2 ρ'=0 ρ'=0.005 ρ'=0.010 ρ'=0.015 ρ'= C50, f c =23.1 N/mm 2 HRB400, f y =360 N/mm 2 HRB400, f ' y =360 N/mm 2 a' s /h 0 = ρ 受压区配筋率对双筋矩形截面相对曲率 - 受拉区配筋率关系的影响 φ u /φ ub ρ'=0 ρ'=0.005 ρ'=0.010 ρ'=0.015 ρ'= ρ +ρ' 受压区配筋率对双筋矩形截面相对曲率 - 总配筋率关系的影响 5.3 受弯构件正截面承载力计算原理

95 第四章钢筋混凝土轴心受力构件 问题 : 画出双筋钢筋混凝土受弯构件正截面承载力计算简图, 并列出其基本方程 它的适用条件是什么?

96 解答 : 力平衡条件 力矩平衡条件 α fbx+ f A = f A ' ' 1 c y s y s x M = α f bx h + f A h a 2 ( ) ' ' ' u 1 c 0 y s 0 s 防止构件超筋破坏 x ξbh0 保证受压区纵筋屈服 x 2a ' s

97 5.3.7 T 形截面受弯构件正截面承载力计算 矩形截面受弯构件破坏时, 受拉区混凝土早已开裂而退出工作, 实际上, 受拉区混凝土的作用并没有充分发挥 若把受拉纵向钢筋集中布置在中部, 将受拉区混凝土挖去一部分, 就形成了 T 形截面 这样形成的 T 形截面承载力的计算值与原矩形截面的承载力计算值完全相同, 却可以节约混凝土用量, 减轻结构的自重, 降低造价 5.3 受弯构件正截面承载力计算原理

98 T 形截面梁在工程中的应用非常广泛, 凡是受压区带有翼缘的构件均可按 T 形截面计算 从发挥受压区混凝土的效能看, 似乎应尽量计及翼缘的宽度 但试验和理论研究表明,T 形截面梁受力时, 受压翼缘压应力分布是不均匀的 压应力由梁肋中部向两边逐渐减小, 即翼缘距肋部越远, 其参与共同受力的程度越低 也就是说, 翼缘的有效宽度是有限的 5.3 受弯构件正截面承载力计算原理

99 为了简化计算, 混凝土结构设计规范 (GB ) 采用在翼缘计算宽度 ( 即有效宽度 )b' f 内, 将受压翼缘的混凝土应力简化为矩形分布, 而在计算宽度范围以外, 不考虑翼缘混凝土的作用 5.3 受弯构件正截面承载力计算原理

100 翼缘的计算宽度与构件的截面形状 构件的跨度和布置间距有关 混凝土结构设计规范 (GB ) 表 受弯构件正截面承载力计算原理

101 单筋 T 形截面受弯构件正截面承载力计算与单筋矩形截面相同, 也是以其受弯的第 Ⅲ 阶段末为基础 受拉区混凝土退出工作 第 Ⅲ 阶段末 受拉区受拉钢筋受拉屈服 受压区混凝土破坏应力分布简化为矩形分布 σ s =f y σ c =α 1 f c 中和轴位置 第一类 T 形截面中和轴位于翼缘内 x h' f 第二类 T 形截面中和轴位于肋部 x>h' f 5.3 受弯构件正截面承载力计算原理

102 T 形截面的类型 第一类 T 形截面 x h' f x=h' f 第二类 T 形截面 x>h' f 5.3 受弯构件正截面承载力计算原理

103 α fbh = f A ' ' 1 c f f y s ( 0.5 ) M = α fbh h h ' ' ' u 1 c f f 0 f ( ' 0.5 ) = fa h h y s 0 f 第一类 T 形截面 x h' f fa α fbh ' ' y s 1 c f f ( 0.5 ) M α f bh h h ' ' ' u 1 c f f 0 f 第二类 T 形截面 x>h' f fa > α fbh ' ' y s 1 c f f ( 0.5 ) M > α f bh h h ' ' ' u 1 c f f 0 f 5.3 受弯构件正截面承载力计算原理

104 第一类 T 形截面 中和轴位于翼缘内, 与宽度为 b' f 的单筋矩形截面梁完全相同 力平衡条件 力矩平衡条件 α fbx= f A ' 1 c f y s ( 0.5 ) ( 0.5 ) M = α f bx h x = f A h x ' u 1 c f 0 y s 受弯构件正截面承载力计算原理

105 计算公式的适用条件 构件适筋破坏条件 防止构件超筋破坏 x ξbh0 一般情况下,T 形截面的 h' f 较小, 而中和轴又在翼缘内, 即 x h' f, 故这个条件一般均能满足, 可不必进行验算 防止构件少筋破坏 A s ρ min bh T 形截面的最小配筋率 ρ min 仍采用矩形截面的最小配筋率的数值 但计算最小配筋量时, 所用的混凝土截面面积是梁高与肋板宽度的乘积, 而不是梁高与翼缘板宽度的乘积 5.3 受弯构件正截面承载力计算原理

106 第二类 T 形截面 中和轴位于 T 形截面肋部, 受压区为 T 形 力平衡条件 力矩平衡条件 ( ' ) α f bx + α f b b h = f A ' 1 c 1 c f f y s ( 0.5 ) α ( ' ) ' ( 0.5 ' ) M = α fbx h x + f b b h h h u 1 c 0 1 c f f 0 f 5.3 受弯构件正截面承载力计算原理

107 计算公式的适用条件 构件适筋破坏条件 防止构件超筋破坏 x ξbh0 防止构件少筋破坏 A s ρ min bh 该条件一般能满足, 计算中可不必验算 5.3 受弯构件正截面承载力计算原理

108 5.4 受弯构件正截面设计 截面选择 截面设计 构件的截面尺寸 混凝土的强度等级 钢筋的级别及构件上作用的荷载或截面的内力等都已知 ( 或某种因素虽然暂时未知, 但可根据实际情况和设计经验假定 ), 要求计算受拉区所需的纵向受力钢筋面积, 并且根据构造要求, 选择钢筋的根数和直径 截面复核 构件的尺寸 混凝土的强度等级 钢筋的级别 数量和配筋方式等都已确定, 要求验算截面是否能够承受某一已知的荷载或内力设计值

109 5.4.1 构造要求 正截面承载力计算通常只考虑荷载对截面抗弯能力的影响 有些因素, 如温度 混凝土的收缩 徐变等对截面承载力的影响, 在计算时并没有考虑 同时, 温度 混凝土的收缩 徐变等对截面承载力影响的计算也非常复杂 在长期工程实践中, 人们总结出了一套完整的构造措施, 来防止因计算中没有考虑的因素影响而造成结构构件开裂和破坏 因此, 进行钢筋混凝土结构构件设计和施工过程中, 除了要满足承载力的计算结果外, 还必须满足有关构造要求 5.4 受弯构件正截面设计

110 截面形式和尺寸 截面形式 梁 板截面尺寸 纵向受力钢筋 混凝土强度等级 梁 架立钢筋 材料的选择 梁内箍筋 钢筋强度等级及常用直径 板 板的受拉钢筋 板的分布钢筋 5.4 受弯构件正截面设计

111 5.4 受弯构件正截面设计

112 5.4.2 单筋矩形截面设计 截面复核 ξ ξ b 和 A s ρ min b h ξ>ξ b 取 ξ=ξ b M M x fa y s ξ = = h α f bh u 1 c c 0 y s 0 2 ( ) ( 1 0.5ξ ) = α f bh ξ ξ = fah ( ) = α f bh ξ ξ 2 u 1 c 0 b b = α bh α f 2 sb 0 1 c 不安全需重新选择截面 M u <M 截面抗弯承载力满足要求 M u 大于 M 过多时, 截面设计不经济, 可减小截面 降低钢筋的级别或混凝土的强度等级 M u M 5.4 受弯构件正截面设计

113 截面选择 取 M u =M 由 M ( ) 2 u = 1fcbh α ξ ξ 求 ξ ξ ξ b ξ>ξ b A α f = ξbh 1 c s 0 fy A s ρ min b h 需加大截面, 或提高混凝土强度等级, 或改用双筋矩形截面 根据钢筋直径和间距等的构造要求进行钢筋选择 5.4 受弯构件正截面设计

114 5.4.3 双筋矩形截面设计 截面复核 ξ ξ b x 2a' s x ξ = = h fa fa ' ' y s y s α f bh 0 1 c 0 ( ) ( ) M = α f bh ξ ξ + f A h a 2 ' ' ' u 1 c 0 y s 0 s ( ' ) 取 x=2a' s Mu = fyas h0 as x < 2a' s 取 A' s =0 按单筋截面求 M u 截面不安全需重新设计选择 M u 取大值 M u <M ξ>ξ b 取 ξ=ξ b ( ) ( ) M = α fbhξ ξ + f A h a 2 ' ' ' u 1 c 0 b b y s 0 s ( ) = α bh α f + f A h a 2 ' ' ' sb 0 1 c y s 0 s 截面抗弯承载力满足要求截面工作可靠 M u M 5.4 受弯构件正截面设计

115 截面选择双筋矩形截面选择时, 常遇的情形是已知构件的弯矩设计值 M 混凝土强度等级及钢筋级别 构件截面尺寸 b 及 h, 求所需的受拉钢筋面积 A s 和受压钢筋面积 A' s 不过有时还会遇到因为构造要求等原因, 受压钢筋面积 A' s 也已知, 仅求所需受拉钢筋面积 A s 的情况 5.4 受弯构件正截面设计

116 A s 和 A' s 均未知 补充截面钢筋用量最小的条件 双筋截面平衡条件 M u ξ ξ ' 2 1 ' As + As α1f c α1fcbh0 2 f y ρ + ρ = = 1 ξ ' + ' + bh0 fy a s f y 1 h 0 ξ = ξ s d ( ρ+ ρ ) dξ { } ξ = min ξ, ξ s ρ b ' 0 = ' 1 as ξ ρ = + 2 2h 0 ξ ρ a 1 h = 1 f 1+ f f y = f ' y ' s 0 y ' y 5.4 受弯构件正截面设计

117 5.4 受弯构件正截面设计

118 取 M u =M 补充条件 ξ = ξ s A M ( ) ( ) α f bh ξ ξ 2 ' 1 c 0 s s s = ' ' fy h0 as A s = fa +α fbξ h ' ' y s 1 c s 0 f y 根据钢筋直径和间距等的构造要求进行钢筋选择 5.4 受弯构件正截面设计

119 A' s 已知,A s 未知 取 M u =M 双筋截面平衡条件 ( ) x M ξ = = fa h a h α f bh ' ' ' y s 0 s c 0 ξ h < 2a ' 0 s 取 Α' s =0, 求 Α s 取 x=2a' s, 求 Α s 2a ξh ξ h ' s 0 b 0 A s = fa +α fbh ξ ' ' y s 1 c 0 f y A s 取较小值 ξ > ξ b 说明给定的受压钢筋面积 A' s 太小, 按 A' s 和 A s 均未知情况, 分别求 A' s 和 A s 根据钢筋直径和间距等的构造要求进行钢筋选择 5.4 受弯构件正截面设计

120 5.4.4 T 形截面设计 截面复核 判断中和轴的位置 fa α fbh ' ' y s 1 c f f 截面不安全需重新设计选择 M u <M M u M 中和轴位于翼缘内, 属于第一类 T 形截 ' 面, 可 bf h按的单筋矩形截面梁的计算方法进行验算 x ξ = = h ξ ξ b f A ( ' ) fa αf b bh ' y s 1 c f f α f bh 0 1 c 0 > α f bh ' ' y s 1 c f f ( ) ( ) ( 0.5 ) M = α f bh ξ ξ + α f b b h h h 2 ' ' ' u 1 c 0 1 c f f 0 f ξ > ξ b ( ) ( ) ( 0.5 ) M = α fbhξ ξ + α f b b h h h 2 ' ' ' u 1 c 0 b b 1 c f f 0 f 截面抗弯承载力满足要求截面工作可靠 5.4 受弯构件正截面设计

121 截面选择取 M u =M 判断中和轴的位置 需加大截面, 或提高混凝土强度等级, 或改用双筋 T 形截面后重新计算 M α f b h h h 2 ' ' ' f 1 c f f 0 M > α f b h h h 2 ' ' ' f 1 c f f 0 中和轴位于翼缘内, 属于第一类 T 形截面, 其计算方法与 b h的单筋矩形截面梁完全相同 ' f ξ > ξ b 根据钢筋直径和间距等的构造要求进行钢筋选择 A s ' ( ) α f b b h + α f bξh = f ' 1 c f f 1 c 0 y ξ ξ b ( ' ) ' ( 0.5 ' ) x M α f b ξ b h h = = h h 1 c f f 0 f 2 0 α1fcbh0 5.4 受弯构件正截面设计

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